Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2005 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Suatu populasi hewan mengikuti hukum pertumbuhan yang berbunyi :

$N(t) = 100.000. 2^{t-2}$
Dengan :

$N(t) \,$ = besar populasi pada saat

$t$

$t \,$ = waktu dalam satuan tahun
Agar populasi menjadi 3 kali lipat populasi awal ( saat

$t = 0$ ), maka

$t = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan populasi awal ( N(0) saat t = 0 )

$\begin{align} t=0 \rightarrow N(t) & = 100.000. 2^{t-2} \\ N(0) & = 100.000. 2^{0-2} \\ N(0) & = 100.000. 2^{-2} \\ N(0) & = \frac{100.000}{4} \\ N(0) & = 25.000 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow a^c = b$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$t$

$\begin{align} \text{populasi} & = \text{3 kali populasi awal} \\ N(t) & = 3 N(0) \\ 100.000. 2^{t-2} & = 3 \times 25.000 \\ 4.2^{t-2} & = 3 \\ 2^2.2^{t-2} & = 3 \\ 2^{2+t-2} & = 3 \\ 2^t & = 3 \\ t & = {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai

$t = {}^2 \log 3 . \heartsuit$

Nomor 12

Diketahui empat titik A, B, C, dan D yang berada pada lingkaran dengan panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm, dan AD = 6 cm. Kosinus sudut BAD = .....

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Segiempat ABCD merupakan
segiempat tali busur sehingga jumlah sudut yang berhadapan adalah

$180^\circ$ .

$A + C = 180^\circ \rightarrow C = 180^\circ - A$

$\cos C = \cos ( 180^\circ - A ) \rightarrow \cos C = - \cos A \, \, \, \text{...pers(i)}$

$\spadesuit \,$ Aturan cosinus segitiga BDA

$\begin{align} BD^2 & = AB^2 + AD^2 - 2. AB . AD. \cos A \\ BD^2 & = 4^2 + 6^2 - 2. 4 . 6. \cos A \\ BD^2 & = 52 - 48 \cos A \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Aturan cosinus segitiga BDC dan pers(i)

$\begin{align} BD^2 & = CB^2 + CD^2 - 2. CB . CD. \cos C \\ BD^2 & = 3^2 + 3^2 - 2. 3.3. (-\cos A) \\ BD^2 & = 18 + 18 \cos A \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$\cos A \,$ dari pers(ii) dan pers(iii)

$\begin{align} BD^2 \text{ (pers(ii))} & = BD^2 \text{ (pers(iii))} \\ 52 - 48 \cos A & = 18 + 18 \cos A \\ 66 \cos A & = 34 \\ \cos A & = \frac{34}{66} = \frac{17}{33} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos A = \frac{17}{33} . \heartsuit$

Nomor 13

Jika

$P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + a \,$ dibagi dengan (

$x+ 3$ ) bersisa 2, maka

$P(x)$ dibagi (

$x+1$ ) akan bersisa ....

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{P(x)}{(x+a)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-a)$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\frac{P(x)}{(x+3)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-3) \rightarrow 2 = P(-3), \,$ substitusi ke

$P(x)$

$\begin{align} P(-3) & = 2 \\ (-3)^4 + 5.(-3)^3 + 9.(-3)^2 + 13.(-3) + a & = 2 \\ 81 - 135 + 81 - 39 + a & = 2 \\ 162 - 174 + a & = 2 \\ -12 + a & = 2 \\ a & = 14 \end{align}$
Sehingga :

$P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + 14 \,$

$\spadesuit \,$ Menentukan Sisa pembagian

$\frac{P(x)}{(x+1)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-1)$

$\begin{align} \text{sisa} \, &= P(-1) \\ \text{sisa} \, & = (-1)^4 + 5.(-1)^3 + 9.(-1)^2 + 13.(-1) + 14 \\ \text{sisa} \, & = 1 - 5 + 9 - 13 + 14 \\ \text{sisa} \, & = 6 \end{align}$
Jadi, sisa pembagian

$P(x) \,$ dengan

$(x+1) \,$ adalah 6.

$\heartsuit$
Catatan : Cara lain bisa menggunakan skema Horner.

Nomor 14

Diketahui

$2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log \sqrt{x} = 1. \,$ Jika akar-akar persamaan di atas adalah

$x_1$ dan

$x_2, \,$ maka

$x_1 + x_2 \,$ adalah .....

$\spadesuit \,$ Sifat Logaritma :

${}^a \log b^n = n. {}^a \log b$
Definisi :

${}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p = {}^4 \log x \,$ , Substitusi ke persamaan

$\begin{align} 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log \sqrt{x} & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log x^\frac{1}{2} & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.\frac{1}{2}.{}^4 \log x & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - ({}^4 \log x) - 1 & = 0 \\ 2p^2 - p -1 & = 0 \\ (2p+1)(p-1) & = 0 \\ p= -\frac{1}{2} \rightarrow {}^4 \log x & = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 4^{ -\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\ p= 1 \rightarrow {}^4 \log x & = 1 \rightarrow x_1 = 4^{ 1} = 4 \end{align}$
Sehingga,

$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 4 = 4\frac{1}{2}$
Jadi, nilai

$x_1 + x_2 = 4\frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 15

Sebongkah gula batu dimasukkan ke dalam air dan diaduk. Dalam 1 menit volume gula berkurang 20% dari volume sebelumnya (bukan 20% dari volume awal). Jika volume gula menjadi kurang dari separuh volume awal mulai menit ke ....

$\clubsuit \,$ Menentukan Volume setiap menitnya
misal, Volume awal gula = V
Dalam 1 menit volume berkurang 20% (sisanya 80%) dari sebelumnya

$\begin{align} \text{Menit I bersisa } \, & = 80\% V = 0,8 V \\ \text{Menit II bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa I } = 80\%(0,8 V) = 0,64V \\ \text{Menit III bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa II } = 80\%(0,64 V) = 0,512V \\ \text{Menit IV bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa III } = 80\%(0,512 V) = 0,496V \end{align}$
Jadi, volume gula menjadi kurang dari separuh volume awal mulai menit keempat.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu