Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2005 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui vektor satuan

$\vec{u} = 0,8\vec{i} + a \vec{j}. \,$ Jika vektor

$\vec{v} = b\vec{i} + \vec{j} \,$ tegak lurus

$\vec{u} \,$ , maka

$a . b = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
Panjang vektor

$\vec{u} = a\vec{i} + b \vec{j} \rightarrow \text{panjang } = | \vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2}$

$\vec{u} \,$ vektor satuan, sehingga

$| \vec{u} | = 1$

$\vec{u} \,$ tegak lurus

$\vec{v} \,$ , sehingga

$\vec{u}. \vec{v} = 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\vec{u} = 0,8\vec{i} + a \vec{j} \,$ vektor satuan, sehingga

$\begin{align} | \vec{u} | = 1 \rightarrow \sqrt{(0,8)^2 + a^2 } & = 1 \\ 0,64 + a^2 & = 1 \\ a^2 & = 0,36 \\ a & = 0,6 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$b$

$\vec{u} \,$ tegak lurus

$\vec{v} \,$ sehingga

$\vec{u}. \vec{v} = 0$
dengan

$\vec{u} = 0,8\vec{i} + a \vec{j} \,$ dan

$\vec{v} = b\vec{i} + \vec{j}$

$\begin{align} \vec{u}. \vec{v} & = 0 \\ 0,8 . b + a.1 & = 0 \\ 0,8b + 0,6 . 1 & = 0 \\ 0,8b & = -0,6 \rightarrow b = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{3}{4} \end{align}$
Sehingga nilai

$a . b = (0,6) . (-\frac{3}{4}) = (\frac{3}{5}) . (-\frac{3}{4} ) = -\frac{9}{20}$
Jadi, nilai

$a . b = -\frac{9}{20} . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Jika P titik tengah HG, Q titik tengah FG, R titik tengah PQ, dan BS adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka panjang BS adalah .....

$\clubsuit \,$ Gambar

Proyeksi BR pada ABCD adalah BS.

$BM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$

$MS = \frac{1}{2} MC = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang BS pada

$\Delta$ BMS

$\begin{align} BS & = \sqrt{BM^2 + MS^2 } = \sqrt{ (\sqrt{2})^2 + (\frac{1}{2} \sqrt{2} )^2 } \\ & = \sqrt{ 4 + \frac{1}{2} } = \sqrt{ \frac{5}{2} } \\ & = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{10} \end{align}$
Jadi, panjang

$BS = \frac{1}{2} \sqrt{10} . \heartsuit$

Nomor 8

Jika lingkaran

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + c = 0 \,$ menyinggung garis

$x = 2, \,$ maka nilai

$c$ adalah .....

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 2 \,$ ke persamaan lingkaran

$\begin{align} x = 2 \rightarrow x^2 + y^2 + 6x + 6y + c & = 0 \\ 2^2 + y^2 + 6.2 + 6y + c & = 0 \\ y^2 + 6y + (c + 16) & = 0 \end{align}$
Syarat Menyinggung :

$D = 0$

$\begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ 6^2 - 4. 1. (c + 16) & = 0 \\ 36 - 4c - 64 & = 0 \\ 4c & = -28 \\ c & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai

$c = -7 . \heartsuit$

Nomor 9

Himpunan penyelesaian

$|x^2 - 2 | \leq 1 \,$ adalah himpunan nilai

$x$ yang memenuhi .....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$|x|^2 = x^2 \,$ dan

$p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$

$\clubsuit \,$ Kuadratkan kedua ruas

$\begin{align} |x^2 - 2 |^2 & \leq 1^2 \\ (x^2 - 2 )^2 & \leq 1^2 \\ (x^2 - 2 )^2 - 1^2 & \leq 0 \\ [x^2 - 2 - 1 ][x^2 - 2 + 1 ] & \leq 0 \\ (x^2-3)(x^2 - 1) & \leq 0 \\ x^2 - 3 = 0 \rightarrow x^2 & = 3 \rightarrow x = \pm \sqrt{3} \\ x^2 - 1 = 0 \rightarrow x^2 & = 1 \rightarrow x = \pm 1 \end{align}$

Jadi, solusinya

$HP = \{ -\sqrt{3} \leq x \leq -1 \vee 1 \leq x \leq \sqrt{3} \} . \heartsuit$

Nomor 10

$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(x^2+x-2) \sin (x-1)}{x^2 - 2x + 1} = .....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar limit

$\displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{ \sin a f(x) }{b f(x)} = \frac{a}{b} \,$ dengan syarat

$\, f(k) = 0$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan limitnya

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(x^2+x-2) \sin (x-1)}{x^2 - 2x + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(x+2)(x-1) \sin (x-1)}{(x-1)(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(x+2) \sin (x-1)}{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } (x+2) . \frac{ \sin (x-1)}{(x-1)} \\ & = (1+2) . \frac{1}{1} = 3 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 3.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2005 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar