Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah ....

$\spadesuit \,$ Urutan duduk diperhatikan sehingga pakai permutasi.

$\spadesuit \,$ Tempat pinggir sebelah kiri dan kanan harus diisi oleh pria sehingga kita harus memilih 2 pria dari 3 pria yang ada.
Cara I =

$P_2^3 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3.2.1}{1!} = 6$

$\spadesuit \,$ Sementara untuk 4 tempat duduk yang ditengah diisi oleh 4 orang yang dipilih dari 1 pria tersisa dan 3 wanita.
Cara II =

$P_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4.3.2.1}{0!} = 24$
Sehingga total cara = Cara I

$\times$ Cara II = 6

$\times$ 24 = 144 cara
Jadi, banyaknya posisi duduk yang mungkin ada 144 susunan.

$\heartsuit$

Nomor 17

Jumlah semua sudut

$\alpha$ ,

$0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}\pi$ , yang memenuhi

$\sin 3\alpha = \cos 2\alpha$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar

$\cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x ) \rightarrow \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha )$

$\sin f(x) = \sin \theta \, \, \,$ Solusinya :
1.

$f(x) = \theta + k.2\pi$
2.

$f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \sin 3\alpha & = \cos 2\alpha \\ \sin 3\alpha & = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) \\ f(x) = 3\alpha \, \, & \text{dan} \, \, \theta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \end{align}$
Solusinya :

$\begin{align} 1. \, \, f(x) & = \theta + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} - 2\alpha + k.2\pi \\ 5\alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{10} + \frac{k.2\pi}{5} \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{1.2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} \\ k = 2 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{2.2\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$

$\begin{align} 2. \, \, f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ 3\alpha & = [\pi - (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)] + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + 1.2\pi = \frac{5\pi}{2} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Sehingga solusinya :

$\{ \frac{\pi}{10} , \, \, \frac{\pi}{2} \}$
Jumlah solusinya :

$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{5} \pi$
Jadi, Jumlah solusinya adalah

$\frac{3}{5} \pi. \heartsuit$

Nomor 18

Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami istri adalah ....

$\spadesuit \,$ Ada 6 pasang suami istri, artinya ada 12 orang
Dipilih 2 orang, sehingga

$n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!.2!} = 66$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$n(A)$
Harapannya terpilih pasangan suami istri.
karena ada 6 pasang suami istri, maka

$n(A) = 6$
sehingga peluangnya :

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}$
Jadi, peluangnya adalah

$\frac{1}{11} . \heartsuit$

Nomor 19

Jika

$A = \left( \begin{matrix} 2x+1 & x-1 \\ 3 & x \end{matrix} \right)$ , maka jumlah semua nilai

$x$ sehingga det

$A$ = 27 adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep determinan

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad-bc$

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan

$\begin{align} |A| & = 27 \\ (2x+1)(x) - (x-1).3 & = 27 \\ 2x^2 + x - 3x + 3 & = 27 \\ 2x^2 -2x - 24 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{2} = 1 \end{align}$
Jadi, jumlah semua nilai

$x$ adalah 1.

$\heartsuit$

Nomor 20

$\displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = ....$

$\spadesuit \,$ Merasionalkan

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} . \frac{(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (\sqrt{x}+1)^2 \\ & = (\sqrt{1}+1)^2 = 2^2 = 4 \end{align}$
Jadi, nilai