Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 21 sampai 25

Nomor 21

Jika

$f(x)=\sqrt{x+1}$ dan

$g(x)=\frac{1}{x^2-1}$ , maka daerah asal fungsi komposisi

$(g \circ f)(x)$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
Daerah asal

$g \circ f$ adalah

$\{ D_f \cap D_{g\circ f} \}$

$\spadesuit \,$ Menentukan daerah asal

$f(x)$ yaitu

$D_f$

$f(x)=\sqrt{x+1} \rightarrow D_f = \{ x+1 \geq 0 \} = \{ x \geq -1 \}$

$\spadesuit \,$ Menentukan daerah asal

$D_{g\circ f}$

$g\circ f = g(f(x)) = \frac{1}{(\sqrt{x+1})^2 -1} = \frac{1}{x}$

$D_{g\circ f} = \{ x \neq 0 \}$

$\spadesuit \,$ Menentukan daerah asal

$g\circ f$

$\{ D_f \cap D_{g\circ f} \} = \{x\geq -1\} \cap \{x \neq 0 \} = \{-1\leq x < 0 \vee x > 0 \}$
Jadi, daerah asal

$g\circ f$ adalah

$\{-1\leq x < 0 \vee x > 0 \} . \heartsuit$

Nomor 22

Pada matriks

$A = \left( \begin{matrix} 1 & a \\ b & c \end{matrix} \right)$ , jika bilangan positif

$1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan

$1,b,c$ membentuk barisan aritmetika, maka det A = ....

$\clubsuit \,$ Barisan geometri :

$1,a,c$
Rasio sama :

$\frac{a}{1} = \frac{c}{a} \rightarrow c = a^2$ ...pers(i)
jumlahnya :

$1+a+c=13 \rightarrow a+c = 12$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika :

$1,b,c$
Selisih sama :

$b-1 = c-b \rightarrow 2b = 1 + c$ ...pers(iii)

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)

$a+c = 12 \rightarrow a + a^2 = 12 \rightarrow a^2+a-12=0$

$(a-3)(a+4)=0 \rightarrow a=3 \vee a =-4$
yang memenuhi

$a=3$ (yang positif)

$c = a^2 = 3^2 = 9$
pers(iii) :

$2b = 1+c \rightarrow 2b = 1 + 9 \rightarrow b= 5$
Matriks

$A = \left( \begin{matrix} 1 & a \\ b & c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right)$
Determinan

$A$ :

$|A| = 1.9 -5.3 = 9 - 15 = -6$
Jadi, determinan A adalah

$-6 . \heartsuit$

Nomor 23

Jika

$U_1,U_2,...,U_7$ membentuk barisan geometri,

$U_3=12$ dan

$\log U_1 + \log U_2 + ... + \log U_7 = 7\log 3$ , maka

$U_5=...$

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$U_n = ar^{n-1}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan bentuk logaritma

$\begin{align} \log U_1 + \log U_2 + ... + \log U_7 & = 7\log 3 \\ \log (U_1.U_2...U_7) & = \log 3^7 \\ U_1.U_2...U_7 & = 3^7 \\ a.(ar).(ar^2)...(ar^6) & = 3^7 \\ a^7r^{21} & = 3^7 \\ (ar^3)^7 & = 3^7 \\ ar^3 & = 3 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Suku ketiga :

$U_3=12 \rightarrow ar^2 = 12$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Bagi pers(i) dan pers(ii)

$\frac{ar^3}{ar^2} = \frac{3}{12} \rightarrow r = \frac{1}{4}$
pers(ii) :

$ar^2 = 12 \rightarrow a\left( \frac{1}{4} \right)^2 = 12 \rightarrow a = 12 \times 4^2$

$\spadesuit \,$ Menentukan suku kelima

$U_5 = ar^4 = 12 \times 4^2 . \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{3}{4}$
Jadi, nilai

$U_5 = \frac{3}{4} .\heartsuit$

Nomor 24

Suatu proyek dapat dikerjakan selama

$p$ hari, dengan biaya setiap harinya

$(4p+\frac{1500}{p}-40)$ juta rupiah. Jika biaya minimum proyek tersebut adalah R juta rupiah, maka R = ....

$\clubsuit \,$ Biaya total

$B = p(4p+\frac{1500}{p}-40) = 4p^2 -40p +1500$

$B^\prime = 8p-40$ (turunannya)

$\clubsuit \,$ Biaya minimum : Turunannya = 0

$B^\prime = 0 \rightarrow 8p-40 = 0 \rightarrow p=5$

$\clubsuit \,$ Biaya minimum (R) saat

$p=5$

$\begin{align} R & = 4p^2 -40p +1500 \\ & = 4.5^2 -40.5 +1500 \\ & = 100 - 200 + 1500 \\ R & = 1400 \end{align}$
Jadi, nilai R = 1400.

$\heartsuit$

Nomor 25

Jika

$f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3}$ , maka turunan pertama dari fungsi

$f$ di

$-3$ adalah

$f^\prime (-3) = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar :

$y=\frac{u}{v} \rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime .v - u.v^\prime }{v^2}$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunannya

$f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3}$

$u=2x+1 \rightarrow u^\prime = 2$

$v=x^2-3 \rightarrow v^\prime = 2x$

$f^\prime (x) = \frac{u^\prime .v - u.v^\prime }{v^2} = \frac{2 .(x^2-3) - (2x+1).2x }{(x^2-3)^2}$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x=-3$ ke turunannya

$f^\prime (-3) = \frac{2 .((-3)^2-3) - (2.(-3)+1).2(-3) }{((-3)^2-3)^2} = \frac{12-30}{36} = \frac{-1}{2}$
Jadi, nilai

$f^\prime (-3) = \frac{-1}{2} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 21 sampai 25

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar