Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Jika

$f(n) = 2^{n+2}6^{n-4} \, \,$ dan

$g(n) = 12^{n-1} \, \,$ ,

$n \,$ bilangan asli, maka

$\frac{f(n)}{g(n)} = ....$

$\spadesuit \,$ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)

$a^{m+n} = a^m.a^m , \, \, \, a^n.b^n = (a.b)^n , \, \, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$\spadesuit \,$ Mederhanakan pecahannya

$\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{2^{n+2}6^{n-4}}{12^{n-1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.6^{-4}}{12^n.12^{-1}} \\ & = \frac{(2.6)^n.4.\frac{1}{6^{4}}}{12^n.\frac{1}{12^{1}}} = \frac{12^n. \frac{4}{6^4}}{12^n.\frac{1}{12}} = \frac{4}{6^4} . 12 \\ \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{f(n)}{g(n)} = \frac{1}{27} .\heartsuit$

Nomor 17

Nilai

$x$ yang memenuhi persamaan

$\frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} = 1 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)

$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}, \, \, \, (a^n)^m = a^{a.m}, \, \, \, a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} & = 1 \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ \sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,008)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (([0,2]^3)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,2)^{7-2x} & = (0,2)^{-4x+5} \\ 7-2x & = -4x+5 \\ 2x & = -2 \rightarrow x =-1 \end{align}$
Jadi, nilai

$x = -1. \heartsuit$

Nomor 18

Garis

$x+y=4 \,$ memotong parabola

$y=4x-x^2 \,$ di titik A dan B. Panjang ruas AB adalah ....

$\spadesuit \,$ Substitusi parabola ke garis

$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \\ (x-1)(x-4) & = 0 \\ x=1 \vee x=4 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi nilai

$x\,$ ke garis

$x=1 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 1 + y = 4 \rightarrow y=3$
sehingga titik A(1,3)

$x=4 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 4 + y = 4 \rightarrow y=0$
sehingga titik B(4,0)

$\spadesuit \,$ Jarak AB :

$|AB| = \sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
Jadi, Panjang ruas AB adalah

$3\sqrt{2}. \heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \,$ Substitusi parabola ke garis

$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \end{align}$

$D=b^2-4ac = (-5)^2-4.1.4 = 9 \, \, \,$ dan nilai

$a =1$
Garis :

$x + y = 4 \rightarrow y=-x+4 \, \,$ gradiennya

$m = -1$

$\spadesuit \,$ Jarak perpotongan kedua titik :

$|AB| = \left| \frac{m}{a} \sqrt{2D} \right|$
sehingga : jarak

$|AB| = \left| \frac{-1}{1} \sqrt{2.9} \right| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
Jadi, Panjang ruas AB adalah

$3\sqrt{2}. \heartsuit$

Nomor 19

Parabola

$y=ax^2+bx+c \,$ melalui titik (0,1) , (1,0) , dan (3,0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah (

$p, \, q$ ) , maka

$q = ....$

$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik ke parabola

$(0,1) \rightarrow 1 = a.0^2+b.0+c \rightarrow c = 1$
sehingga fungsi parabola menjadi :

$y=ax^2+bx+1$

$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2+b.1+1 \rightarrow a+b = -1 \, \, \,$ ...pers(i)

$(3,0) \rightarrow 0 = a.3^2+b.3+1 \rightarrow 9a+3b = -1 \, \, \,$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 9a+3b = -1 & \text{kali 1 } & 9a+3b = -1 & \\ a+b = -1 & \text{kali 3 } & 3a+3b = -3 & - \\ \hline & & 6a = 2 \rightarrow a = \frac{1}{3} & \end{array}$

$a+b = -1 \rightarrow \frac{1}{3} + b = -1 \rightarrow b = -\frac{4}{3}$
sehingga fungsi parabola menjadi :

$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak (

$x_p , \, y_p$ )

$x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{\frac{4}{3}}{2.\frac{1}{3}} = 2$

$y_p = f(x_p) = f(2) = \frac{1}{3}.2^2-\frac{4}{3}.2+1 = -\frac{1}{3}$
titik puncaknya : (

$p, \, q ) = (2, \, -\frac{1}{3} )$
Jadi, nilai

$q = -\frac{1}{3}. \heartsuit$

Nomor 20

Akar-akar persamaan kuadrat

$x^2+5x+k=0 \,$ adalah

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ . Jika

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = -\frac{73}{24} \, \,$ , maka nilai

$k \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat

$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{1} \rightarrow x_1+x_2 = -5$

$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} \rightarrow x_1.x_2 = k$

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (-5)^2-2(k) \rightarrow x_1^2+x_2^2 = 25-2k$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$k$

$\begin{align} \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{25-2k}{k} & = -\frac{73}{24} \\ 24.(25-2k) & = -73k \\ 600 - 48k & = -73k \\ 73k-48k & = -600 \\ 25k & = -600 \rightarrow k = -24 \end{align}$
Jadi, nilai

$k = -24. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 16 sampai 20

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar