Nomor 6
lim
\spadesuit \, Rumus dasar : \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}}
\spadesuit \, Memodifikasi soal :
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - \sqrt{x^2} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4-0}{2\sqrt{1}} = \frac{4}{2}=2 \end{align*}
Jadi, nilai limitnya adalah 2 . \heartsuit
\spadesuit \, Memodifikasi soal :
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - \sqrt{x^2} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4-0}{2\sqrt{1}} = \frac{4}{2}=2 \end{align*}
Jadi, nilai limitnya adalah 2 . \heartsuit
Nomor 7
Perhatikan barisan 240, 120, 80, 60, ... . Suku berikutnya dari barisan tersebut adalah ....
\clubsuit \, Menentukan pola barisan :
240 \underbrace{, 120}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 80}_{\times \frac{2}{3}} \underbrace{, 60}_{\times \frac{3}{4}} \underbrace{, ...}_{\times \frac{4}{5}}
Sehingga, suku berikutnya : \frac{4}{5} \times 60 = 4 \times 12 = 48
Jadi, suku berikutnya adalah 48. \heartsuit
240 \underbrace{, 120}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 80}_{\times \frac{2}{3}} \underbrace{, 60}_{\times \frac{3}{4}} \underbrace{, ...}_{\times \frac{4}{5}}
Sehingga, suku berikutnya : \frac{4}{5} \times 60 = 4 \times 12 = 48
Jadi, suku berikutnya adalah 48. \heartsuit
Nomor 8
Jika a dan b adalah bilangan real dengan 0 < a < b dan a^2+b^2= 6ab maka \frac{a-b}{a+b} = ...
\spadesuit \, Diketahui : a^2+b^2= 6ab
\spadesuit \, Memodifikasi soal dengan dikuadratkan :
\begin{align} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 + b^2 + 2ab} \, \, \text{(gunakan } \, a^2+b^2= 6ab ) \\ & = \frac{6ab - 2ab}{6ab + 2ab} = \frac{4ab}{8ab} \\ \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{1}{2} \\ \frac{a-b}{a+b} & = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}
Jadi, nilai \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \heartsuit
\spadesuit \, Memodifikasi soal dengan dikuadratkan :
\begin{align} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 + b^2 + 2ab} \, \, \text{(gunakan } \, a^2+b^2= 6ab ) \\ & = \frac{6ab - 2ab}{6ab + 2ab} = \frac{4ab}{8ab} \\ \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{1}{2} \\ \frac{a-b}{a+b} & = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}
Jadi, nilai \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \heartsuit
Nomor 9
Grafik fungsi f(x) = ax^2+bx+1 mempunyai garis singgung horizontal pada titik (2,5), maka b-a=...
\clubsuit \, Substitusi titik (2,5) ke f(x)
f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow 5=a.2^2+b.2+1
\rightarrow 4a+2b = 4 \rightarrow 2a+b = 2 ...pers(i)
\clubsuit \, Garis singgung horizontal di titik (2,5), artinya gradiennya m=0
\clubsuit \, gradien garis singgung di titik (2,5): m = f^\prime (2)
f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax+b
m = f^\prime (2) \rightarrow 0 = 2.a.2 + b \rightarrow 4a+b = 0 ...pers(ii)
\clubsuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
\begin{array}{cc} 4a+b = 0 & \\ 2a+b = 2 & - \\ \hline 2a=-2 \rightarrow a = -1 \end{array}
pers(ii) : 4a+b = 0 \rightarrow 4.(-1) + b = 0 \rightarrow b = 4
Sehingga : b-a= 4 - (-1) = 5
Jadi, nilai b-a = 5 . \heartsuit
f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow 5=a.2^2+b.2+1
\rightarrow 4a+2b = 4 \rightarrow 2a+b = 2 ...pers(i)
\clubsuit \, Garis singgung horizontal di titik (2,5), artinya gradiennya m=0
\clubsuit \, gradien garis singgung di titik (2,5): m = f^\prime (2)
f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax+b
m = f^\prime (2) \rightarrow 0 = 2.a.2 + b \rightarrow 4a+b = 0 ...pers(ii)
\clubsuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
\begin{array}{cc} 4a+b = 0 & \\ 2a+b = 2 & - \\ \hline 2a=-2 \rightarrow a = -1 \end{array}
pers(ii) : 4a+b = 0 \rightarrow 4.(-1) + b = 0 \rightarrow b = 4
Sehingga : b-a= 4 - (-1) = 5
Jadi, nilai b-a = 5 . \heartsuit
Nomor 10
Misalkan f(x)=\int \limits_0^x (as+b)ds . Jika f(-1)=1 dan f(1)=3 , maka ab = ...
\spadesuit \, Rumus dasar integral :
\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}+c dan \int k dx = kx + c
\spadesuit \, Menentukan integralnya terhadap s :
\begin{align} f(x) & = \int \limits_0^x (as+b)ds = \left[ \frac{1}{2}as^2 + bs \right]_0^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}ax^2 + bx \end{align}
\spadesuit \, Substiutusi f(-1)=1 dan f(1)=3 \, ke f(x)
f(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a.(-1)^2 + b.(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a - b = 1 \, ...pers(i)
f(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a.(1)^2 + b.(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a + b = 3 \, ...pers(ii)
\spadesuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
\begin{array}{cc} \frac{1}{2}a - b = 1 & \\ \frac{1}{2}a + b = 3 & + \\ \hline a=4 , b = 1 \end{array}
Jadi, nilai a.b=4\times 1 = 4 . \heartsuit
\spadesuit \, Menentukan integralnya terhadap s :
\begin{align} f(x) & = \int \limits_0^x (as+b)ds = \left[ \frac{1}{2}as^2 + bs \right]_0^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}ax^2 + bx \end{align}
\spadesuit \, Substiutusi f(-1)=1 dan f(1)=3 \, ke f(x)
f(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a.(-1)^2 + b.(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a - b = 1 \, ...pers(i)
f(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a.(1)^2 + b.(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a + b = 3 \, ...pers(ii)
\spadesuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
\begin{array}{cc} \frac{1}{2}a - b = 1 & \\ \frac{1}{2}a + b = 3 & + \\ \hline a=4 , b = 1 \end{array}
Jadi, nilai a.b=4\times 1 = 4 . \heartsuit
Artikel Terkait
undefinedundefined ... selengkapnya
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.