Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Suku banyak

$P(x) \,$ dibagi

$x^2 - x- 2 \,$ mempunyai hasil bagi

$Q(x) \,$ dan sisa

$x + 2. \,$ Jika

$Q(x) \,$ dibagi

$x+2 \,$ mempunyai sisa 3, maka sisa

$P(x) \,$ dibagi

$x^2+3x+2 \,$ adalah ....
(A).

$-11x-10$
(B).

$-10x - 11$
(C).

$11x - 10$
(D).

$10x+11$
(E).

$11x + 10$

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar suku banyak (polinomial)
*). Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
*).

$P(x) \,$ dibagi

$K(x) \,$ hasilnya

$Q(x) \,$ dan sisanya

$S(x)$
Berlaku :

$P(x) = K(x). Q(x) + S(x)$

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan

$Q(x) : (x+2), \,$ sisa = 3 , artinya

$Q(-2) = 3 \,$ ...pers(i)
*).

$P(x) \,$ dibagi

$x^2 - x - 2 \,$ sisanya

$x+2 \,$ dan hasil baginya

$Q(x)$
Berlaku :

$P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + (x+2) \, \,$ atau
difaktorkan :

$P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) \,$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Substitusi nilai

$x = -1 \,$ dan

$x = -2$ ke pers(ii)
Persamaan (i) :

$P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2)$

$\begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1-2).Q(-1) + (-1+2) \\ P(-1) & = 0.Q(-1) + 1 \\ P(-1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow P(-2) & = (-2+1)(-2-2).Q(-2) + (-2+2) \\ P(-2) & = (-1).(-4).3 + 0 \\ P(-2) & = 12 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan sisa pembagian

$P(x) \,$ dibagi

$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \,$ , misalkan sisanya

$ax+b \,$ dan hasilnya

$K(x)$
berlaku :

$P(x) = (x+1)(x+2).K(x) + (ax+b) \,$ ...pers(iii)
Substitusi nilai

$x = -1 \,$ dan

$x = -2 \,$ ke pers(iii) dan gunakan

$P(-1) = 1 \,$ dan

$P(-2) = 12$

$\begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1+2).K(-1) + (a(-1) + b ) \\ 1 & = -a + b \, \, \, \, \text{....pers(1) } \\ x = -2 \rightarrow P(-1) & = (-2+1)(-2+2).K(-2) + (a(-2) + b ) \\ 12 & = -2a + b \, \, \, \, \text{....pers(2) } \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(1) dan pers(2)

$\begin{array}{cc} -a + b = 1 & \\ -2a + b = 12 & - \\ \hline a = -11 & \end{array}$
pers(1) :

$-a + b = 1 \rightarrow -(-11) + b = 1 \rightarrow b = -10$
Sehingga sisa pembagiannya :

$ax + b = -11x - 10$
Jadi, sisa pembagiannya adalah

$-11x - 10 . \heartsuit$

Nomor 7

Jumlah

$n \,$ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan

$S_n . \,$ Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan

$S_4, \, S_8 \,$ dan

$S_{16} \,$ membentuk barisan geometri, maka

$\frac{S_8}{S_4} = .....$

$\clubsuit \,$ Barisan Aritmetika :

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_4, \, S_8, \, S_{16} \,$ adalah barisan geometri
rasionya sama , diperoleh :

$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{S_{16}}{S_8} \\ (S_8)^2 & = S_4. S_{16} \\ \left[ \frac{8}{2}(2a + (8-1)b) \right]^2 & = \left[ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) \right] . \left[ \frac{16}{2}(2a + (16-1)b) \right] \\ \left[ 4(2a + 7b) \right]^2 & = \left[ 2(2a + 3b) \right] . \left[ 8(2a + 15b) \right] \\ 16(4a^2 + 28ab + 49b) & = 16(4a^2 + 36ab + 45b^2) \\ 4b^2 -8ab & = 0 \\ 4b(b-2a) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = 2a \end{align}$
Yang memenuhi adalah

$b = 2a$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{\frac{8}{2}(2a + (8-1)b)}{\frac{4}{2}(2a + (4-1)b)} \\ & = \frac{4(2a + 7b)}{2(2a + 3b)} \\ & = \frac{2(2a + 7.(2a))}{(2a + 3.(2a))} \\ & = \frac{2(16a)}{(8a)} \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{S_8}{S_4} = 4 . \heartsuit$

Nomor 8

Garis

$g \,$ merupakan garis singgung kurva

$y = 2x^2 - x - 1 \,$ dengan gradien

$m. \,$ Jika garis

$g \,$ membentuk sudut

$45^\circ \,$ terhadap garis

$2x-y+4=0, \,$ dan

$0 < m < 2, \,$ maka persamaan

$g \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar

Misalkan, garik k :

$2x - y + 4 = 0 , \,$ gradiennya

$m_k = \frac{-x}{y} = \frac{-2}{-1} = 2$

$\spadesuit \,$ Konsep Gradien melibatkan sudut :
Gradien garis g :

$m_g = \tan \theta$
Gradien garis k :

$m_k = \tan (45^\circ + \theta )$
Rumus Trigonometri :

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A . \tan B}$

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien garis g

$\begin{align} m_k & = \tan (45^\circ + \theta ) \\ 2 & = \frac{\tan 45^\circ + \tan \theta}{1-\tan 45^\circ . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1-1 . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1- \tan \theta} \\ 2 - 2\tan \theta & = 1 + \tan \theta \\ 3\tan \theta & = 1 \\ \tan \theta & = \frac{1}{3} \end{align}$
artinya gradien garis g :

$m_g = \tan \theta = \frac{1}{3}$

$\spadesuit \,$ Garis g menyinggung kurva

$y = 2x^2 - x - 1$
gradien = turunan kurvanya ,

$\, y^\prime = 4x - 1$

$m_g = y^\prime \rightarrow \frac{1}{3} = 4x-1 \rightarrow x = \frac{1}{3}$
Menentukan titik singgung dengan substitusi

$x = \frac{1}{3} \,$ ke kurva

$x = \frac{1}{3} \rightarrow y = 2(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{10}{9}$
Diperoleh titik singgungnya :

$(x_1,y_1)=(\frac{1}{3},-\frac{10}{9}) \,$ dengan

$m = \frac{1}{3}$

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan garis g

$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y-(-\frac{10}{9}) & = \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}) \\ y+\frac{10}{9} & = \frac{1}{3}x-\frac{1}{9} \, \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9y + 10 & = 3x - 1 \\ -3x + 9y + 11 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis g adalah

$-3x + 9y + 11 = 0 . \heartsuit$
Catatan : Sebenarnya nilai gardien garis g ada dua kemungkinan yaitu

$\frac{1}{3} \,$ atau

$-\frac{1}{3} \,$ , artinya garis g ada dua kemungkinan yaitu naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif). Hanya saja syaratnya

$0 < m < 2 \,$ yang artinya gradien

$\frac{1}{3} \,$ yang memenuhi.

Nomor 9

Nilai

$x \,$ yang memenuhi pertaksamaan

$\sqrt{(625)^{x-2}} > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Eksponen (perpangkatan)
*). Sifat :

$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \,$ ;

$(a^m)^n = a^{m.n} \,$ dan

$a^m.a^n = a^{m+n}$
*). Pertidaksamaan :

$a^{f(x)} > a^{g(x)} \Rightarrow f(x) > g(x) , \,$ dengan

$a > 1$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} \sqrt{(625)^{x-2}} & > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \\ (5^4)^\frac{x-2}{2} & > ((5^3)^\frac{x}{2})((5^2)^\frac{6x}{3}) \\ (5)^{2(x-2)} & > (5)^\frac{3x}{2}.(5)^{4x} \\ 5^{2x-4} & > (5)^{\frac{3x}{2} + 4x } \\ 2x-4 & > \frac{3x}{2} + 4x \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x- 8 & > 3x + 8x \\ -7x & > 8 \, \, \, \, \text{(bagi -7, tanda dibalik)} \\ x & < - \frac{8}{7} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah

$\{ x < -\frac{8}{7} \} . \heartsuit$

Nomor 10

Himpunan semua

$x \,$ yang memenuhi

$|x-2| - 1 \geq x \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar nilai mutlak

$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right.$
Sehingga bentuk

$|x-2| \,$ bisa dijabarkan menjadi :

$|x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x - 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x-2 < 0 \leftrightarrow x < 2 \end{array} \right.$
Artinya bentuk

$|x-2| \,$ dijabarkan berdasarkan batas nilai

$x$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal berdasarkan batas

$x$
*). untuk

$x \geq 2 , \,$ bentuk

$|x-2| = x-2$

$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ (x-2) - 1 & \geq x \\ -3 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
untuk kasus

$x \geq 2 , \,$ tidak ada nilai

$x \,$ yang memenuhi.
*). untuk

$x < 2 , \,$ bentuk

$|x-2| = -(x-2)$

$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ -(x-2) - 1 & \geq x \\ -x+2 - 1 & \geq x \\ -2x & \geq -1 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{1}{2} \end{align}$
Nilai

$x \leq \frac{1}{2} \,$ memenuhi syarat

$x < 2 , \,$ artinya memenuhi solusi.
Jadi, solusinya adalah

$\{ x \leq \frac{1}{2} \} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

6 komentar:

Anonim19 Mei 2017 pukul 19.34
pembahasan polinomial nomor 6, x di persamaan (i) bukannya harusnya 2 ya?
BalasHapus
Balasan
Unknown16 November 2018 pukul 14.20
Wah keren sekali ini. Semoga berkah
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

6 komentar: