Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x- 2 \, $ mempunyai hasil bagi $ Q(x) \, $ dan sisa $ x + 2. \, $ Jika $ Q(x) \, $ dibagi $ x+2 \, $ mempunyai sisa 3, maka sisa $ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 \, $ adalah ....
(A). $ -11x-10 $
(B). $ -10x - 11 $
(C). $ 11x - 10 $
(D). $ 10x+11 $
(E). $ 11x + 10 $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar suku banyak (polinomial)
*). Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
*). $ P(x) \, $ dibagi $ K(x) \, $ hasilnya $ Q(x) \, $ dan sisanya $ S(x) $
Berlaku : $ P(x) = K(x). Q(x) + S(x) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ Q(x) : (x+2), \, $ sisa = 3 , artinya $ Q(-2) = 3 \, $ ...pers(i)
*). $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x - 2 \, $ sisanya $ x+2 \, $ dan hasil baginya $ Q(x) $
Berlaku : $ P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + (x+2) \, \, $ atau
difaktorkan : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 $ ke pers(ii)
Persamaan (i) : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1-2).Q(-1) + (-1+2) \\ P(-1) & = 0.Q(-1) + 1 \\ P(-1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow P(-2) & = (-2+1)(-2-2).Q(-2) + (-2+2) \\ P(-2) & = (-1).(-4).3 + 0 \\ P(-2) & = 12 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa pembagian
$ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \, $ , misalkan sisanya $ ax+b \, $ dan hasilnya $ K(x) $
berlaku : $ P(x) = (x+1)(x+2).K(x) + (ax+b) \, $ ...pers(iii)
Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 \, $ ke pers(iii) dan gunakan $ P(-1) = 1 \, $ dan $ P(-2) = 12 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1+2).K(-1) + (a(-1) + b ) \\ 1 & = -a + b \, \, \, \, \text{....pers(1) } \\ x = -2 \rightarrow P(-1) & = (-2+1)(-2+2).K(-2) + (a(-2) + b ) \\ 12 & = -2a + b \, \, \, \, \text{....pers(2) } \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(1) dan pers(2)
$ \begin{array}{cc} -a + b = 1 & \\ -2a + b = 12 & - \\ \hline a = -11 & \end{array} $
pers(1) : $ -a + b = 1 \rightarrow -(-11) + b = 1 \rightarrow b = -10 $
Sehingga sisa pembagiannya : $ ax + b = -11x - 10 $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -11x - 10 . \heartsuit $
Nomor 7
Jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan $ S_n . \, $ Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan $ S_4, \, S_8 \, $ dan $ S_{16} \, $ membentuk barisan geometri, maka $ \frac{S_8}{S_4} = ..... $
$\clubsuit \, $ Barisan Aritmetika : $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ S_4, \, S_8, \, S_{16} \, $ adalah barisan geometri
rasionya sama , diperoleh :
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{S_{16}}{S_8} \\ (S_8)^2 & = S_4. S_{16} \\ \left[ \frac{8}{2}(2a + (8-1)b) \right]^2 & = \left[ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) \right] . \left[ \frac{16}{2}(2a + (16-1)b) \right] \\ \left[ 4(2a + 7b) \right]^2 & = \left[ 2(2a + 3b) \right] . \left[ 8(2a + 15b) \right] \\ 16(4a^2 + 28ab + 49b) & = 16(4a^2 + 36ab + 45b^2) \\ 4b^2 -8ab & = 0 \\ 4b(b-2a) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = 2a \end{align}$
Yang memenuhi adalah $ b = 2a $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{\frac{8}{2}(2a + (8-1)b)}{\frac{4}{2}(2a + (4-1)b)} \\ & = \frac{4(2a + 7b)}{2(2a + 3b)} \\ & = \frac{2(2a + 7.(2a))}{(2a + 3.(2a))} \\ & = \frac{2(16a)}{(8a)} \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{S_8}{S_4} = 4 . \heartsuit $
Nomor 8
Garis $ g \, $ merupakan garis singgung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 \, $ dengan gradien $ m. \, $ Jika garis $ g \, $ membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap garis $ 2x-y+4=0, \, $ dan $ 0 < m < 2, \, $ maka persamaan $ g \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_8_mat_ipa-2013.png
Misalkan, garik k : $ 2x - y + 4 = 0 , \, $ gradiennya $ m_k = \frac{-x}{y} = \frac{-2}{-1} = 2 $
$\spadesuit \, $ Konsep Gradien melibatkan sudut :
Gradien garis g : $ m_g = \tan \theta $
Gradien garis k : $ m_k = \tan (45^\circ + \theta ) $
Rumus Trigonometri : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A . \tan B} $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis g
$\begin{align} m_k & = \tan (45^\circ + \theta ) \\ 2 & = \frac{\tan 45^\circ + \tan \theta}{1-\tan 45^\circ . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1-1 . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1- \tan \theta} \\ 2 - 2\tan \theta & = 1 + \tan \theta \\ 3\tan \theta & = 1 \\ \tan \theta & = \frac{1}{3} \end{align}$
artinya gradien garis g : $ m_g = \tan \theta = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Garis g menyinggung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 $
gradien = turunan kurvanya , $ \, y^\prime = 4x - 1 $
$ m_g = y^\prime \rightarrow \frac{1}{3} = 4x-1 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x = \frac{1}{3} \, $ ke kurva
$ x = \frac{1}{3} \rightarrow y = 2(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{10}{9} $
Diperoleh titik singgungnya : $ (x_1,y_1)=(\frac{1}{3},-\frac{10}{9}) \, $ dengan $ m = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan garis g
$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y-(-\frac{10}{9}) & = \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}) \\ y+\frac{10}{9} & = \frac{1}{3}x-\frac{1}{9} \, \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9y + 10 & = 3x - 1 \\ -3x + 9y + 11 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis g adalah $ -3x + 9y + 11 = 0 . \heartsuit $
Catatan : Sebenarnya nilai gardien garis g ada dua kemungkinan yaitu $ \frac{1}{3} \, $ atau $ -\frac{1}{3} \, $ , artinya garis g ada dua kemungkinan yaitu naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif). Hanya saja syaratnya $ 0 < m < 2 \, $ yang artinya gradien $ \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
Nomor 9
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ \sqrt{(625)^{x-2}} > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen (perpangkatan)
*). Sifat : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \, $ ; $ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $
*). Pertidaksamaan : $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Rightarrow f(x) > g(x) , \, $ dengan $ a > 1 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \sqrt{(625)^{x-2}} & > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \\ (5^4)^\frac{x-2}{2} & > ((5^3)^\frac{x}{2})((5^2)^\frac{6x}{3}) \\ (5)^{2(x-2)} & > (5)^\frac{3x}{2}.(5)^{4x} \\ 5^{2x-4} & > (5)^{\frac{3x}{2} + 4x } \\ 2x-4 & > \frac{3x}{2} + 4x \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x- 8 & > 3x + 8x \\ -7x & > 8 \, \, \, \, \text{(bagi -7, tanda dibalik)} \\ x & < - \frac{8}{7} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{8}{7} \} . \heartsuit $
Nomor 10
Himpunan semua $ x \, $ yang memenuhi $ |x-2| - 1 \geq x \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar nilai mutlak
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Sehingga bentuk $ |x-2| \, $ bisa dijabarkan menjadi :
$|x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x - 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x-2 < 0 \leftrightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x-2| \, $ dijabarkan berdasarkan batas nilai $ x $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal berdasarkan batas $ x $
*). untuk $ x \geq 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = x-2 $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ (x-2) - 1 & \geq x \\ -3 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
untuk kasus $ x \geq 2 , \, $ tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi.
*). untuk $ x < 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = -(x-2) $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ -(x-2) - 1 & \geq x \\ -x+2 - 1 & \geq x \\ -2x & \geq -1 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{1}{2} \end{align}$
Nilai $ x \leq \frac{1}{2} \, $ memenuhi syarat $ x < 2 , \, $ artinya memenuhi solusi.
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{1}{2} \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

6 komentar:

  1. pembahasan polinomial nomor 6, x di persamaan (i) bukannya harusnya 2 ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow,

      $ x $ yang kita substitusikan adalah pembuat nolnya (akarnya). $Q(x) $ dibagi $ (x+2)$, artinya pembuat nol dari $ x+2 $ adalah $ x = -2 $. Sehingga kita substitusikan $ x = -2 $ ke pers(i). Seperti itu.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Semangat belajar.

      Hapus
    2. permisi numpang nanya, yang disubstitusikan ke pers.2 bukannya x= -1 dan x= 2 ya? karena kan faktor pembaginya x+1 danx-2

      Hapus
    3. hallow @fajar,

      memang faktornya $ x + 1 $ dan $ x - 2 $, namun di soal yang ditanyakan adalah sisa pembagian dengan $ x^2+3x + 2 = (x+1)(x+2) $ , artinya pada intinya kita akan mencari nilai $ P(-1) $ dan $ P(-2) $. Dengan alasan tersebut, maka yang kita substitusikan ke pers(2) adalah $ x = -1 $ dan $ x = -2 $, lagian kita juga sudah punya nilai $ Q(-2) $, sehingga untuk $ x = -2 $ kita akan memperoleh nilai $ P(-2) $ nya.

      Seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu. ^_^

      Hapus
  2. Wah keren sekali ini. Semoga berkah

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @sianturi roni.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Semoga bermanfaat.

      Hapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.