Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 617 tahun 2015 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

$\frac{x-2}{x+1} > 1 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} \frac{x-2}{x+1} & > 1 \\ \frac{x-2}{x+1} - 1 & > 0 \\ \frac{x-2}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & > 0 \\ \frac{(x-2)-(x+1)}{x+1} & > 0 \\ \frac{-3}{x+1} & > 0 \end{align}$
Agar

$\frac{-3}{x+1} > 0 \,$ (positif) , maka penyebutnya harus bernilai negatif :
diperoleh :

$x + 1 < 0 \rightarrow x < -1$
Jadi, solusinya

$HP = \{ x < -1 \} . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui suatu fungsi

$f \,$ bersifat

$f(-x) = -f(x) \,$ untuk setiap bilangan real

$x . \,$ Jika

$f(3) = -5 \,$ dan

$f(-5) = 1, \,$ maka

$f(f(-3)) = ....$

$\clubsuit \,$ Diketahui

$f(-x) = -f(x) \,$ ....pers(i)
berlaku juga :

$f(x) = - f(-x) \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Diketahui nilai :

$f(3) = -5 \,$ dan

$f(-5) = 1$

$f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \,$ ....dari pers(i)

$f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \,$ ....dari pers(ii)

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai

$f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$

Nomor 8

Diketahui sistem persamaan

$\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{2x+1} + \frac{4}{3y-1}=11, \\ \frac{1}{2x+1} - \frac{7}{3y-1}=12. \end{array} \right.$
Nilai

$y - 5x \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p= \frac{1}{2x+1} \,$ dan

$q = \frac{1}{3y-1}$

$\spadesuit \,$ Sistem persamaan menjadi

$\begin{align} \frac{3}{2x+1} + \frac{4}{3y-1}=11 \rightarrow 3p + 4q & = 11 \, \, \, \text{...(i)} \\ \frac{1}{2x+1} - \frac{7}{3y-1}=12 \rightarrow p - 7q & = 12 \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 3p + 4q = 11 & \times 1 & 3p + 4q = 11 & \\ p - 7q = 12 & \times 3 & 3p - 21q = 36 & - \\ \hline & & 25q = -25 & \\ & & q = -1 & \end{array}$
pers(ii) :

$p - 7q = 12 \rightarrow p - 7.(-1) = 12 \rightarrow p = 5$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x \,$ dan

$y$

$\begin{align} p=5 \rightarrow \frac{1}{2x+1} & = 5 \\ 2x + 1 & = \frac{1}{5} \\ 2x & = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5} \\ x & = - \frac{2}{5} \\ q = -1 \rightarrow \frac{1}{3y-1} & = -1 \\ 3y - 1 = -1 \\ 3y & = 0 \\ y & = 0 \end{align}$
Sehingga nilai

$y - 5x = 0 - 5.(-\frac{2}{5}) = 0 + 2 = 2$
Jadi, nilai

$y - 5x = 2 . \heartsuit$

Nomor 9

Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan

$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan

$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai D

$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00.

$\heartsuit$

Nomor 10

Jika

$f(2-x) = \frac{x}{2} + 3 , \,$ maka

$f^{-1} (x) = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep invers :

$f(A) = B \Leftrightarrow f^{-1} (B) = A$
sehingga :

$f(2-x) = \frac{x}{2} + 3 \Rightarrow f^{-1} ( \frac{x}{2} + 3 ) = 2-x$

$\spadesuit \,$ Menentukan inversnya
Misal :

$p = \frac{x}{2} + 3 \rightarrow x = 2(p-3)$
Substitusi bentuk

$p$

$\begin{align} f^{-1} ( \frac{x}{2} + 3 ) & = 2-x \\ f^{-1} ( p ) & = 2- 2(p-3) \\ f^{-1} ( p ) & = 2- 2p + 6 \\ f^{-1} ( p ) & = 8- 2p \end{align}$
Sehingga diperoleh :

$f^{-1}(x) = 8-2x$
Jadi, diperoleh

$f^{-1}(x) = 8-2x . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15