Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika

$A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right)$ , dan

$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right), \,$ maka nilai

$a + c \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Menentukan perkaliannya

$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a-b+4c & 2a+b \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \text{diperoleh persamaan} & \\ 2a-b+4c & = 3 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ 2a+b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Jumlahkan kedua persamaan

$\begin{array}{cc} 2a-b+4c = 3 & \\ 2a+b = 1 & + \\ \hline 4a+4c = 4 & \\ a+c = 1 & \end{array}$
Jadi, nilai

$a + c = 1 . \heartsuit$

Nomor 12

Diketahui

$a, \, b,$ dan

$c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmetika. Jika

$\frac{a+b+c}{b+1}=4, \,$ maka nilai

$b \,$ adalah .....

$\clubsuit \, u_2=a, \, u_4=b, \,$ dan

$u_6=c \,$ barisan aritmatika .
Suatu barisan aritmetika yang berurutan (contoh :

$u_1, u_2, u_3 \,$ atau

$u_3,u_4,u_5 \,$ atau

$u_1,u_3,u_5 \,$ atau

$u_2,u_4,u_6$ ) pasti mempunyai selisih yang sama.
*). selisih sama :

$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \,$ ...pers(i)
*). dari soal diketahui juga :

$\frac{a+b+c}{b+1}=4 \,$ ...per(ii)

$\clubsuit \,$ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)

$\begin{align} \frac{a+b+c}{b+1} & =4 \\ \frac{(a+c)+b}{b+1} & =4 \, \, \, \, \text{(posisi b dan c ditukar)} \\ \frac{(2b)+b}{b+1} & =4 \\ \frac{3b}{b+1} & =4 \\ 3b & = 4b + 4 \\ b & = -4 \end{align}$
Sehingga nilai

$b = -4$
Jadi, nilai

$b=-4. \heartsuit$

Nomor 13

Diketahui deret geometri tak hingga

$u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah

$r$ dengan

$-1 < r < 1$ ,

$u_2+u_4+u_6...=4$ , dan

$u_2+u_4= \frac{15}{4}$ , maka nilai

$r$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap :

$S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2}$
Suku ke-n :

$U_n=ar^{n-1}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan bentuk

$u_2+u_4+u_6...=4$

$\begin{align} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan bentuk

$u_2+u_4=\frac{15}{4}$

$\begin{align} u_2+u_4 & = \frac{15}{4} \\ ar + ar^3 & = \frac{15}{4} \\ ar(1+r^2) & = \frac{15}{4} \\ ar & = \frac{15}{4(1+r^2)} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :

$\begin{align} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{15}{4(1+r^2)} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 15 & = 16 (1-r^2)(1+r^2) \\ 15 & = 16 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ \frac{15}{16} & = 1 - (r^2)^2 \\ (r^2)^2 & = 1- \frac{15}{16} \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{16} \\ (r^2) & = \frac{1}{4} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r = \pm \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai

$r = \pm \frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 14

Parabola

$y=x^2-(k+2)x+2k$ memotong sumbu-Y di (0,

$c$ ) dan memotong sumbu-X di (

$a$ ,0) dan (

$b$ ,0). Jika

$a+2, \, c, \,$ dan

$a + 2b \,$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai

$k \,$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola :

$y=x^2-(k+2)x+2k$

$y=x^2-(k+2)x+2k \Rightarrow c=0^2-(k+2).0+2k$

$\Rightarrow c = 2k.$

$\clubsuit \,$ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari

$x^2-(k+2)x+2k = 0 \,$ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :

$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(k+2))}{1} \Leftrightarrow a+b = k + 2 \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika

$a+2, \, c, \,$ dan

$a + 2b \,$ , selisihnya sama :

$\begin{align} (c) - (a+2) & = (a+2b) - (c) \\ 2c & = (a+2b) + (a+2) \\ 2c & = 2(a+b) + 2 \\ \text{(gunakan pers(i) dan } & \, c = 2k )\\ 2.(2k) & = 2(k+2) + 2 \\ 4k & = 2k + 6 \\ 2k & = 6 \\ k & = \frac{6}{2} = 3 \end{align}$
Jadi, nilai

$k=3 . \heartsuit$

Nomor 15

Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 6, 9. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada 63000 ada sebanyak ....

$\spadesuit \,$ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 6, 9
kode kurang daripada 63000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :

Total cara = 12 + 24 + 3 = 39 cara.

$\spadesuit \,$ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 1 dan sisanya (Ribuan, Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 3, 3, 6, 9 yaitu permutasinya sebanyak

$\frac{4!}{2!} = 12 \,$ susunan.
contohnya : 13369, 13396, 13639, dan seterusnya.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang lebih kecil dari 63000.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu