Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika

$A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks

$AB$ adalah 4, maka nilai

$a + b \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$AB$ :

$AB = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right)$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a + b$ :

$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 4 \\ \left| \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right| & = 4 \\ 4.(a+b) - 0 . (2a-b+c) & = 4 \\ 4.(a+b) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a + b & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai

$a + b = 1 . \heartsuit$

Nomor 12

Hasil kali 3 suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 105. Jika jumlah tiga suku pertama tersebut adalah 15, maka selisih suku pertama dan suku ketiga barisan tersebut adalah .....

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika :

$u_n = a + (n-1) b \, \, \, \,$ dan

$s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$\clubsuit \,$ Jumlah tiga suku pertama = 15

$\begin{align} s_3 & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 15 \\ 3(a+b) & = 15 \\ a + b & = 5 \\ u_2 & = 5 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Hasil kali tiga suku pertama = 105

$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (substitusi } u_2 = 5 ) \\ u_1.5.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (bagi 5 ) } \\ u_1 . u_3 & = 21 \\ u_1 . u_3 & = 3.7 \end{align}$
artinya nilai

$u_1 = 3 , \, u_3 = 7 \,$ atau

$u_1 = 7 , \, u_3 = 3 \,$ , tetapi memiliki selisih yang sama yaitu 7 - 3 = 4 .
Jadi, selisih suku pertama dan ketiga adalah 4.

$\heartsuit$
Catatan : dari nilai

$u_2 = 5 \,$ dan

$u_1.u_3 = 21 \,$ , bisa ditentukan nilai

$a \,$ dan

$b \,$ terlebih dahulu, kemudian kita tentukan nilai suku pertama dan ketiganya.

Nomor 13

Diketahui deret geometri tak hingga

$u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah

$r$ dengan

$-1 < r < 1$ ,

$u_1+u_2+u_3+...=3$ , dan

$u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3}$ , maka nilai

$r \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga :

$s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}$
Barisan geometri :

$u_n = a.r^{n-1}$

$\spadesuit \,$ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :

$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....= \frac{1}{3} \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = \frac{1}{3} \\ \frac{ar^2}{1-r} & = \frac{1}{3} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 3ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :

$\begin{align} 3ar^2 & = (1-r) \\ 3.[3(1-r)]r^2 & = (1-r) \\ 9(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 9r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{9} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai

$r = \frac{1}{3} \,$ atau

$r = - \frac{1}{3} . \heartsuit$

Nomor 14

Parabola

$y = x^2 - 2x + m + 2 \,$ mempunyai titik puncak (

$p,q$ ). Jika

$3p \,$ dan

$q \,$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai

$m \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar fungsi kuadrat :

$y = ax^2 + bx + c$
*) titik puncak : (

$x_p,y_p$ )

$x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a}$
**) Jumlah deret tak hingga geometri :

$s_\infty = \frac{a}{1-r}$

$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat :

$y = x^2 - 2x + m + 2$

$a = 1, \, b = -2, \, c = m + 2$

$\clubsuit \,$ Titik puncaknya :

$(x_p,y_p) = (p,q)$

$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan

$q \,$ dan

$m \,$ dari

$y = x^2 - 2x + m + 2$

$(x_p,y_p) = (p,q) \,$ , artinya

$x_p = p = 1 \,$ dan

$y_p = q$

$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + m + 2 \\ q & = m + 1 \\ m & = q - 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari

$3p, \, q, \, ....$
dengan

$p =1 , \,$ barisannya menjadi :

$3, \, q , \, ....$
sehingga :

$a = 3 , \,$ dan

$r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{q}{3}$
Jumlah tak hingganya = 9

$\begin{align} s_\infty & = 9 \\ \frac{a}{1-r} & = 9 \\ a & = 9 (1-r) \\ 3 & = 9 ( 1- \frac{q}{3} ) \\ 3 & = 9 - 3q \\ q & = 2 \end{align}$
pers(i) :

$m = q - 1 = 2 - 1 = 1$
Jadi, nilai

$m = 1 . \heartsuit$

Nomor 15

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada 53000 sebanyak ...

$\spadesuit \,$ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 5, 7
Total atau banyaknya kupon yang terbentuk dari angka-angka 1, 3, 3, 5, 7 ada

$\frac{5!}{2!} = 5.4.3 = 60 \,$ kupon.

$\spadesuit \,$ Dari pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 15 , banyak kupon yang lebih besar daripada 53000 ada 21 kupon, sehingga banyak kupon yang lebih kecil atau kurang daripada 53000 ada :
Banyaknya = total kupon - kupon lebih dari 53000 = 60 - 21 = 39 kupon.
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang kurang dari 53000.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu