Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2002 Nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui

$4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 \,$ supaya kedua akar - akarnya real berbeda dan positif haruslah .....

$\spadesuit \,$ PK :

$4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$

$\rightarrow a=4, b= -2m, c = 2m-3$

$\spadesuit \,$ Syarat akar real beda positif

$x_1+x_2 > 0, \, x_1.x_2 > 0 , \, D > 0$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan syarat-syaratnya
*)

$x_1+x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2m)}{4} > 0 \rightarrow m > 0 \,$ ....(HP1)
*)

$x_1.x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{2m-3}{4} > 0 \rightarrow m > \frac{3}{2} \,$ ....(HP2)
*) syarat

$D > 0$

$\begin{align} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2m)^2-4.4.(2m-3) & > 0 \\ 4m^2 - 32m + 48 & > 0 \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2 - 8m + 12 & > 0 \\ (m-2)(m-6) & > 0 \\ m = 2 \vee m & = 6 \end{align}$

HP3 =

$\{ m < 2 \vee m > 6 \}$
Sehingga HP =

$HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < m < 2 \vee m > 6 \}$
Jadi, solusinya

$HP = \{ \frac{3}{2} < m < 2 \vee m > 6 \} . \heartsuit$

Nomor 7

Himpunan penyelesaian pertaksamaan :

$2 \log (x-2) \leq \log (2x-1) \,$ adalah .....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar

${}^a \log b = c , \,$ syaratnya :

$a > 0, a\neq 1, \, b > 0$

${}^a \log b^n = n. {}^a \log b$

${}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) , \,$ syaratnya

$a > 1$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan syarat logaritma

$2 \log (x-2) \leq \log (2x-1) \,$
Syarat :

$x-2 > 0 \rightarrow x > 2$

$2x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2}$
yang memenuhi kedua syarat adalah : HP1 =

$\{ x > 2 \}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} 2 \log (x-2) & \leq \log (2x-1) \\ \log (x-2)^2 & \leq \log (2x-1) \, \, \text{(coret log nya)} \\ (x-2)^2 & \leq (2x-1) \\ (x-2)^2 & \leq (2x-1) \\ x^2 -4x + 4 & \leq (2x-1) \\ x^2 -4x + 4 - 2x + 1 & \leq 0 \\ x^2 -6x + 5 & \leq 0 \\ (x-1)(x-5) & \leq 0 \\ x=1 \vee x & = 5 \end{align}$

HP2 =

$\{ 1 \leq m \leq 5 \}$
Sehingga

$HP = HP1 \cap HP2 = \{ 2 < m \leq 5 \}$
Jadi, solusinya

$HP = \{ 2 < m \leq 5 \} . \heartsuit$

Nomor 8

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} = ......$

$\spadesuit \,$ Konsep limit

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} \,$ dan

$\, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{\tan bx} = \frac{a}{b}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan limitnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 }{\tan ^2 3x} + \frac{ \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} \\ & = \frac{7}{3^2} + \frac{2}{3^2} \\ & = \frac{7}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 1.

$\heartsuit$

Nomor 9

Himpunan penyelesaian pertaksamaan

$x^2 - |x| \leq 6 \,$ adalah .....

$\clubsuit \,$ Konsep Harga mutlak

$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } \, x \geq 0 \\ & \text{(atau)} \\ -x & , \text{ untuk } \, x < 0 \\ \end{array} \right.$

$\clubsuit \,$ penyelesaian dibagi menjadi dua kasus
*) untuk

$x \geq 0 , \,$ maka

$\, |x| = x$

$\begin{align} x^2 - |x| & \leq 6 \, \, \text{ (ganti } \, |x| = x ) \\ x^2 - x & \leq 6 \\ x^2 - x - 6 & \leq 0 \\ (x+2)(x-3) & \leq 0 \\ x=-2 \vee x & = 3 \end{align}$

dari syarat

$x \geq 0 \,$ , maka solusinya : HP1 =

$\{ 0 \leq x \leq 3 \}$
*) untuk

$x < 0 , \,$ maka

$\, |x| = -x$

$\begin{align} x^2 - |x| & \leq 6 \, \, \text{ (ganti } \, |x| = -x ) \\ x^2 - (-x) & \leq 6 \\ x^2 + x - 6 & \leq 0 \\ (x-2)(x+3) & \leq 0 \\ x=2 \vee x & = -3 \end{align}$

dari syarat

$x < 0 \,$ , maka solusinya : HP2 =

$\{ -3 \leq x < 0 \}$
sehingga solusinya : HP =

$HP1 \cup HP2 = \{ -3 \leq x \leq 3 \}$
Jadi, solusinya

$HP = \{ -3 \leq x \leq 3 \} . \heartsuit$

Nomor 10

Titik P(a,b) dicerminkan terhadap sumbu X, bayangannya dicerminkan pula terhadap sumbu Y, maka bayangan terakhir titik P merupakan ......
A. Pencerminan titik P terhadap garis

$y = x$
B. Pencerminan titik P terhadap garis

$y = -x$
C. Pencerminan titik P terhadap garis sumbu Y
D. Perputaran titik P dengan pusat titik O(0,0) sebesar

$\pi$ radian berlawanan perputaran jarum jam
E. Perputaran titik P dengan pusat titik O(0,0) sebesar

$\frac{\pi}{2}$ radian berlawanan perputaran jarum jam

$\spadesuit \,$ Menentukan matriks gabungan

$T_1 =$ (pencerminan sumbu X)

$= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$

$T_2 =$ (pencerminan sumbu Y)

$= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$
Matriks gabungannya (MT) :

$MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$

$\spadesuit \,$ Matriks transformasi

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \,$ sama dengan matriks perputaran sebesar

$\pi \,$ berlawanan jarum jam

$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, solusinya opsi D.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu