Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jumlah kuadrat tiga bilangan positif adalah 100. Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua bilangan lainnya. Selisih antara dua bilangan terkecil adalah 3. Selisih dari pangkat tiga dua bilangan terkecil adalah ...

$\spadesuit \,$ Misal ketiga bilangan dari besar ke kecil :

$a, \, b, \, c$

$\spadesuit \,$ Jumlah kuadrat tiga bilangan

$a^2 + b^2 + c^2 = 100 \,$ .....pers(i)

$\spadesuit \,$ Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua bilangan lainnya

$a = b+c \,$ .....pers(ii)

$\spadesuit \,$ Selisih dua bilangan terkecil = 3

$b-c = 3 \,$ .....pers(iii)

$\spadesuit \,$ Kuadratkan pers(ii) dan pers(iii) lalu dijumlahkan
pers(ii):

$b+c=a \rightarrow (a+b)^2 =a^2 \rightarrow a^2+b^2+2bc=a^2 \,$ ....(1)
pers(iii):

$b-c = 3 \rightarrow (b-c)^2 = 3^2 \rightarrow b^2+c^2-2bc=9 \,$ ....(2)
Jumlahkan (1) dan (2)

$\begin{array}{cc} a^2+b^2+2bc=a^2 & \\ b^2+c^2-2bc=9 & + \\ \hline 2(b^2+c^2) = a^2 + 9 & \\ b^2 + c^2 = \frac{a^2+9}{2} & ...(iv) \end{array}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(iv) ke pers(i)

$\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 & = 100 \\ a^2 + \frac{a^2+9}{2} & = 100 \\ 3a^2 & = 191 \\ a^2 & = \frac{191}{3} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$a^2 = \frac{191}{3} \,$ ke pers(i)

$\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 & = 100 \\ \frac{191}{3} + b^2 + c^2 & = 100 \\ b^2 + c^2 & = 100 - \frac{191}{3} = \frac{109}{3} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$b^2 + c^2 = \frac{109}{3} \,$ ke pers(2)

$\begin{align} b^2+c^2-2bc & =9 \\ \frac{109}{3}-2bc & =9 \\ bc & = \frac{41}{3} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal yang ditanyakan

$\begin{align} b^3-c^3 & = (b-c)(b+2+c^2 +bc) \\ & = 3.(\frac{109}{3} + \frac{41}{3} ) \\ & = 3.(\frac{150}{3} \\ b^3-c^3 & = 150 \end{align}$
Jadi, nilai

$b^3-c^3 = 150. \heartsuit$

Nomor 7

Misalkan

$A=\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \} \,$ dan

$B=\{ x|3 \leq x \leq 22 \} \,$ . Himpunan nilai-nilai

$-a+2$ yang memenuhi kondisi

$A \neq \emptyset$ dan

$A \subseteq \{ A \cap B \}$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Menentukan batas

$a \,$ dari himpunan

$A \,$ agar ketaksamaan terpenuhi

$A=\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \}$

$2a+1 \leq 3a-5 \rightarrow 1 + 5 \leq 3a-2a \rightarrow 6 \leq a \, \, \, \, \, \, \,$ atau

$a \geq 6 \,$ ....(HP1)

$\clubsuit \,$ Agar

$A \subseteq \{ A \cap B \}, \,$ maka haruslah terpenuhi

$A \subseteq B \,$ artinya himpunan

$A \,$ semuanya ada di dalam himpunan

$B$ .
Agar himpunan

$A \,$ selalu ada didalam himpunan

$B, \,$ maka batas-batas himpunan

$A \,$ ada pada rentang himpunan

$B$ .

$\begin{align} B & =\{ x|3 \leq x \leq 22 \} \\ A & =\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \} \\ 3 & \leq 2a+1 \, \text{ dan } \, 3a -5 \leq 22 \end{align}$
*).

$2a+1 \geq 3 \rightarrow 2a \geq 2 \rightarrow a \geq 1 \,$ ....(i)
*).

$3a-5 \leq 22 \rightarrow 3a \leq 27 \rightarrow a \leq 9 \,$ ....(ii)
Dari (i) dan (ii) yang memenuhi syarat keduanya adalah HP2 =

$\{ 1 \leq a \leq 9 \}$
Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1

$\cap \,$ HP2 =

$\{ 6 \leq a \leq 9 \}$

$\clubsuit \,$ Menentukan interval

$-a + 2 \,$ dengan memodifikasi solusi totalnya

$\begin{align} \{ 6 \leq & a \leq 9 \} \, \, \text{( kali -1, tanda dibalik)} \\ -6 \geq & -a \geq -9 \, \, \text{(atau)} \\ -9 \leq & -a \leq -6 \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -9+2 \leq -a & +2 \leq -6 + 2 \\ -7 \leq -a & +2 \leq -4 \end{align}$
Jadi, interval

$-a + 2 \,$ adalah

$-7 \leq -a +2 \leq -4 . \heartsuit$

Nomor 8

Banyaknya bilangan bulat

$x$ yang memenuhi pertidaksamaan

$\sqrt{x+1} \geq \sqrt{x-5} +1$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Syarat dalam akar :

$\sqrt{x+1} \geq \sqrt{x-5} +1$

$x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1$

$x-5 \geq 0 \rightarrow x \geq 5$
yang memenuhi kedua syarat adalah HP1 =

$\{ x \geq 5 \}$

$\spadesuit \,$ Kuadratkan pertidaksamaan

$\begin{align} (\sqrt{x+1})^2 & \geq (\sqrt{x-5} +1)^2 \\ x+1 & \geq x-5 + 1 + 2\sqrt{x-5} \\ 5 & \geq 2\sqrt{x-5} \, \, \text{(kuadratkan lagi)} \\ 25 & \geq 4(x-5) \, \, \text{(atau)} \\ 4(x-5) & \leq 25 \\ x-5 & \leq \frac{25}{4} \\ x & \leq \frac{25}{4} + 5 \\ x & \leq 11,25 \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya : HP = HP1

$\cap$ HP2 =

$\{ 5 \leq x \leq 11,25 \}$
Jadi, solusi bulatnya ada 7 bilangan yaitu

$\{ 5,6,7,8,9,10,11 \} . \heartsuit$

Nomor 9

Diberikan barisan aritmatika

$a_1, a_2, ... , a_{16}$ dengan

$a_7+a_9=a_{16}$ . Banyaknya barisan geometri tiga suku

$\{ a_i, a_j, a_k \}$ dengan

$1 \leq i \leq j \leq k \leq 16$ yang terdiri dari suku-suku barisan aritmatika tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan suku pertama

$a \,$ dan bedanya

$b$
Rumus dasar barisan aritmetika :

$u_n = a + (n-1)b \,$
untuk kasus soal ini,

$u_n \,$ sama dengan

$a_n \,$
sehingga

$a_n = u_n = a+(n-1)b$

$\clubsuit \,$ Menentukan hubungan

$a \,$ dan

$b$

$\begin{align} a_7+a_9 & =a_{16} \\ [a+(7-1)b]+[a+(9-1)b] & = a+(16-1)b \\ (a+6b) + (a+8b) & = a + 15b \\ 2a+14b & = a + 15b \\ a & = b \end{align}$
sehingga nilai

$a = b$

$\clubsuit \,$ Menentukan barisannya, substitusi

$b = a \,$ dan

$a_n = a+(n-1)b$

$a_1 = a , \, a_2 = a+b = a+a = 2a, \, a_3 = a+2b = a+2a = 3a$

$a_4 = a+3b = a+3a = 4a, \, a_5 = a+4b = a+4a = 5a , \, \, \, \,$ dst ...

$a_{15} = a+14b=a+14a=15a, \,$ dan

$a_{16} = a+15b = a+15a = 16a$
Sehingga barisan aritmetikanya :

$a , \, 2a , \, 3a , \, 4a , \, 5a , \, 6a , \, ... \, , 16a$

$\clubsuit \,$ Barisan geometri yang terdiri dari tiga suku yang diambil dari barisan aritmetika di atas
i). rasionya 2 atau

$\frac{1}{2}$
(

$a,\, 2a, \, 4a$ ), (

$4a, \, 2a, \, a$ ), (

$2a, \, 4a, \, 8a$ ), (

$8a, \, 4a, \, 2a$ ), (

$4a, \, 8a, \, 16a$ ), (

$16a, \, 8a, \, 4a$ ) . Ada 6 barisan .
ii). rasionya 3 atau

$\frac{1}{3}$
(

$a, \, 3a, \, 9a$ ), dan (

$9a, \, 3a, \, a$ ) . Ada 2 barisan .
iii). rasionya 4 atau

$\frac{1}{4}$
(

$a, \, 4a, \, 16a$ ), dan (

$16a, \, 4a, \, a$ ) . Ada 2 barisan .
iv). rasionya

$\frac{3}{2} \,$ atau

$\frac{2}{3}$
(

$4a, \, 6a, \, 9a$ ), dan (

$9a, \, 6a, \, 4a$ ) . Ada 2 barisan .
Tidak ada lagi barisan geometri dengan rasio lain selain di atas.
Catatan : nilai

$a \,$ pada barisan di atas tidak diganti oleh angka tertentu, karena jika nilai

$a \,$ disubstitusi dengan angka tertentu maka akan ada tak hingga banyaknya barisan yang akan terbentuk.
Jadi, totalnya ada 12 barisan .

$\heartsuit$

Nomor 10

Agar titik

$(x,y)=(1,2)$ berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier

$y \leq 4+x , y \geq -x , y \leq a-2x$ , maka bilangan bulat terkecil

$a$ yang memenuhi adalah ...

$\spadesuit \,$ Konsep dasar Program linier :
Suatu titik akan berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan yang ada (maksudnya jika titik disubstitusi ke pertidaksamaan, maka pertidaksamaan terpenuhi).
Karena titik

$(x,y) = (1,2) \,$ berada dalam daerah penyelesaian, maka titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan. Mari kita cek :

$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \leq 4+x \\ 2 & \leq 4+1 \\ 2 & \leq 5 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$

$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \geq -x \\ 2 & \geq -1 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Titik

$(x,y) = (1,2) \,$ juga harus memenuhi pertidaksamaan

$y \leq a-2x$

$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \leq a-2x \\ 2 & \leq a-2.1 \\ 2 & \leq a-2 \\ 4 & \leq a \, \, \, \text{ atau } \, \, a \geq 4 \end{align}$
sehingga diperoleh nilai

$a \geq 4 \,$ , artinya nilai terkecil

$a \,$ adalah 4.
Jadi, nilai terkecil

$a \,$ adalah

$a = 4. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu