Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = -1 , \,$ maka

$f^\prime (1) = ....$

$\spadesuit \,$ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
*). Turunan :

$y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x)$
*). Untuk

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}, \,$ maka solusinya

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \,$ sampai hasilnya tidak

$\frac{0}{0}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan limitnya dan substitusi

$a = 1$

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = \frac{0}{0} , \,$ sehingga harus diturunkan terhadap

$x$

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} & = -1 \, \, \, \text{(turunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x^3) . 3x^2 - 0 }{1} & = -1 \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{3x^2.f^\prime (x^3) }{1} & = -1 \\ 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ a = 1 \rightarrow 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ 3.1^2.f^\prime (1^3) & = -1 \\ 3f^\prime (1) & = -1 \\ f^\prime (1) & = -\frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai

$f^\prime (1) = -\frac{1}{3} \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui

$P \,$ dan

$Q \,$ suatu polinomial. Jika

$P(x) \,$ berturut-turut memberikan sisa -1 dan 5 apabila dibagi

$x - 1 \,$ dan dibagi

$x+2 \,$ dan

$Q(x) \,$ berturut-turut memberikan sisa 1 dan -2 apabila dibagi

$x + 2 \,$ dan dibagi

$x-1 , \,$ maka

$P(Q(x)) \,$ dibagi

$x^2 + x -2 \,$ bersisa .....

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Polinomial

$P(x)$ :

$P(x) : (x-1), \,$ sisa = -1 , artinya

$P(1) = -1 \,$ ....pers(i)

$P(x) : (x+2), \,$ sisa = 5 , artinya

$P(-2) = 5 \,$ ....pers(ii)

$Q(x) : (x+2), \,$ sisa = 1 , artinya

$Q(-2) = 1 \,$ ....pers(iii)

$Q(x) : (x-1), \,$ sisa = -2 , artinya

$Q(1) = -2 \,$ ....pers(iv)

$\spadesuit \,$ Konsep pembagian

$P(Q(x)) \,$ dibagi

$x^2 + x -2 \,$ , misal sisanya

$S(x) = ax+b$

$P(Q(x)) : G(x) , \,$ hasilnya

$H(x) \,$ dan sisa

$S(x) \,$ , dapat ditulis :

$P(Q(x)) = G(x) . H(x) + S(x)$

$\spadesuit \,$ Menentukan sisa pembagian dengan substitusi nilai

$x$

$\begin{align} P(Q(x)) & = G(x) . H(x) + S(x) \\ P(Q(x)) & = (x^2 + x -2 ) . H(x) + (ax+b) \\ P(Q(x)) & = (x - 1)(x+2) . H(x) + (ax+b) \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = 1 ) \\ P(Q(1)) & = (1 - 1)(1+2) . H(1) + (a.1+b) \, \, \, \text{dari pers(iv)} \\ P(-2) & = 0 . H(1) + (a+b) \, \, \, \text{dari pers(ii)} \\ 5 & = a + b \, \, \, \text{...pers(1)} \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = -2 ) \\ P(Q(-2)) & = (-2 - 1)(-2+2) . H(-2) + (a.(-2)+b) \, \, \, \text{dari pers(iii)} \\ P(1) & = 0 . H(-2) + (-2a+b) \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ -1 & = -2a + b \, \, \, \text{...pers(2)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(1) dan pers(2), diperoleh

$a = 2 \,$ dan

$b = 3$
Sehingga sisanya :

$S(x) = ax + b = 2x + 3$
Jadi, sisanya adalah

$2x + 3 . \heartsuit$

Nomor 8

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis

$x=-2$ , dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis

$4x+y=4$ . Titik puncak parabola tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan persamaan fungsinya ,

$y=f(x)=ax^2+bx+c$ . Dengan titik puncak

$(x_p,y_p) \, \,$ :

$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan

$y_p=f(x_p)$ , serta

$f^\prime(x)=2ax+b$ .

$\clubsuit \,$ Sumbu simetrinya

$x=-2 \,$ dengan

$x=x_p$ :

$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:

$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=ax^2+bx+1$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung sejajar dengan garis

$4x+y=4$ , artinya gradiennya sama dengan gradien garis

$4x+y=4\,$ yaitu

$m=-4$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):

$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) :

$b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=-x^2-4x+1$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak:

$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$ .
Jadi, titik puncaknya adalah

$(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$

Nomor 9

Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = AE = 4 dan BC = 3. Titik P dan Q masing-masing titik tengah FG dan GH. Maka tangen sudut bidang diagonal FHDB dan bidang PQDB adalah ....

$\clubsuit \,$ Gambar

Sudut yang dibentuk oleh bidang FHDB dan PQDB adalah

$\theta \,$ yaitu sudut KJP pada segitiga KJP.

$\text{Luas } \, \Delta FGH = \frac{1}{2}.FG.GH = \frac{1}{2}.3.4 = 6$

$\text{Luas } \, \Delta PGH = \frac{1}{2}.PG.GH = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}.4 = 3$
Sehingga :

$\text{Luas } \, \Delta FPH = \text{Luas } \, \Delta FGH - \text{Luas } \, \Delta PGH = 6 - 3 = 3$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang KP

$\begin{align} \text{Luas } \, \Delta FPH & = \frac{1}{2} . FH . KP \\ 3 & = \frac{1}{2} . 5 . KP \\ KP & = \frac{6}{5} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\tan \theta$

$\begin{align} \tan \theta & = \frac{KP}{KJ} \\ \tan \theta & = \frac{\frac{6}{5}}{4} \\ \tan \theta & = \frac{3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai

$\tan \theta = \frac{3}{10} . \heartsuit$

Nomor 10

Jika

$A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan

$\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$ , maka matriks

$A$ yang mungkin adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan matriks

$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \,$ :

$\begin{align} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Diperoleh

$a=1,d=8, \,$ dan

$b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks

$A$ :

$\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

2 komentar:

Unknown13 Desember 2015 pukul 17.57
Mas Darma,

Saya mau nanya, saya selalu bingung dengan cara membentuk sudut atau jarak yang ditanyakan pada bangun ruang 3 dimensi. Gimana ya mas? Apa ada materi dari blog mas yang membahasnya? Terima kasih mas.
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

2 komentar: