Nomor 11
Satu dadu dilempar 3 kali. Peluang mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali adalah ....
$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali, dalam hal ini dibagi menjadi tiga kasus
1). muncul mata dadu 6 satu kali :
misal muncul pelemparan pertama : cara = 1.5.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_1^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama atau kedua atau ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 satu kali : $ n(A_1) = C_1^3 . (1.5.5) = 3. (25) = 75 $
2). muncul mata dadu 6 dua kali :
misal muncul pelemparan pertama dan kedua : cara = 1.1.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_2^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua atau kedua ketiga atau pertama ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 dua kali : $ n(A_2) = C_2^3 . (1.1.5) = 3. (5) = 15 $
3). muncul mata dadu 6 tiga kali :
misal muncul pelemparan pertama kedua ketiga: cara = 1.1.1 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_3^3 = 1 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 tiga kali : $ n(A_3) = C_3^3 . (1.1.1) = 1. (1) = 1 $
Sehingga total cara muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali :
$ n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 75 + 15 + 1 = 91 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{91}{216}$
Keterangan : 1.5.5 artinya pelemparan pertama muncul angka 6 (ada 1 kemungkinan), pelemparan kedua muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5), dan pelemparan ketiga muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5).
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali, dalam hal ini dibagi menjadi tiga kasus
1). muncul mata dadu 6 satu kali :
misal muncul pelemparan pertama : cara = 1.5.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_1^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama atau kedua atau ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 satu kali : $ n(A_1) = C_1^3 . (1.5.5) = 3. (25) = 75 $
2). muncul mata dadu 6 dua kali :
misal muncul pelemparan pertama dan kedua : cara = 1.1.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_2^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua atau kedua ketiga atau pertama ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 dua kali : $ n(A_2) = C_2^3 . (1.1.5) = 3. (5) = 15 $
3). muncul mata dadu 6 tiga kali :
misal muncul pelemparan pertama kedua ketiga: cara = 1.1.1 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_3^3 = 1 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 tiga kali : $ n(A_3) = C_3^3 . (1.1.1) = 1. (1) = 1 $
Sehingga total cara muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali :
$ n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 75 + 15 + 1 = 91 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{91}{216}$
Keterangan : 1.5.5 artinya pelemparan pertama muncul angka 6 (ada 1 kemungkinan), pelemparan kedua muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5), dan pelemparan ketiga muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5).
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $
Cara II : peluang komplemen
$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali.
Pada kasus ini kita gunakan peluang komplemen (lawannya) yaitu kebalikan dari harapannya.
Misal : A = kejadian harapannya (sedikitnya muncul sekali) ,
$ A^c \, $ = kejadian tidak munculnya mata dadu 6 (kebalikan dari kejadian A)
Konsep peluang komplemen : $ P(A) = 1 - P(A^c) $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang komplemennya
Mata dadu 6 tidak muncul sama sekali, $ n(A^c) = 5.5.5 = 125 $
$ P(A^c) = \frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{125}{216}$
Sehingga : $ P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216} $
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali.
Pada kasus ini kita gunakan peluang komplemen (lawannya) yaitu kebalikan dari harapannya.
Misal : A = kejadian harapannya (sedikitnya muncul sekali) ,
$ A^c \, $ = kejadian tidak munculnya mata dadu 6 (kebalikan dari kejadian A)
Konsep peluang komplemen : $ P(A) = 1 - P(A^c) $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang komplemennya
Mata dadu 6 tidak muncul sama sekali, $ n(A^c) = 5.5.5 = 125 $
$ P(A^c) = \frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{125}{216}$
Sehingga : $ P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216} $
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ g(x-2) = \frac{x-4}{x+2} \, $ dan $ f(x) = x^2 + 3 , \, $ maka $ (f \circ g^{-1}) (2) = .... $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan fungsi $ g(x-2) $
misal $ y = x-2 \rightarrow x = y+2 , \, $ substitusi ke fungsi $ g(x-2) $
$\begin{align} g(x-2) & = \frac{x-4}{x+2} \\ g(y) & = \frac{(y+2)-4}{(y+2)+2} \\ g(y) & = \frac{y-2}{y+4} \\ g(x) & = \frac{x-2}{x+4} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan invers fungsi $ g(x) $
$ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a} $
$ g(x) = \frac{x-2}{x+4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{4x+2}{-x+1} $
Sehingga nilai $ g^{-1} (2) = \frac{4.(2)+2}{-(2)+1} = \frac{10}{-1} = -10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f \circ g^{-1}) (2) & = f \left( g^{-1} (2) \right) \\ & = f \left( -10 \right) \\ & = (-10)^2 + 3 \\ & = 100 + 3 \\ (f \circ g^{-1}) (2) & = 103 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f \circ g^{-1}) (2) = 103 . \heartsuit $
misal $ y = x-2 \rightarrow x = y+2 , \, $ substitusi ke fungsi $ g(x-2) $
$\begin{align} g(x-2) & = \frac{x-4}{x+2} \\ g(y) & = \frac{(y+2)-4}{(y+2)+2} \\ g(y) & = \frac{y-2}{y+4} \\ g(x) & = \frac{x-2}{x+4} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan invers fungsi $ g(x) $
$ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a} $
$ g(x) = \frac{x-2}{x+4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{4x+2}{-x+1} $
Sehingga nilai $ g^{-1} (2) = \frac{4.(2)+2}{-(2)+1} = \frac{10}{-1} = -10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f \circ g^{-1}) (2) & = f \left( g^{-1} (2) \right) \\ & = f \left( -10 \right) \\ & = (-10)^2 + 3 \\ & = 100 + 3 \\ (f \circ g^{-1}) (2) & = 103 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f \circ g^{-1}) (2) = 103 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $ m \, $ dan $ n \, $ bilangan real dan fungsi $ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $ memenuhi $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $
maka $ 3m-n = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsinya
$ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 4x - n $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ artinya 1 dan -5 adalah akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3mx^2 + 4x - n = 0 , \, $ akar-akarnya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = -5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ n \, $ dengan operasi akar-akar
Operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + (-5) & = \frac{-4}{3m} \\ -4 & = \frac{-4}{3m} \\ 1 & = \frac{1}{3m} \\ 3m & = 1 \\ m & = \frac{1}{3} \end{align}$
Operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . (-5) & = \frac{-n}{3m} \\ -5 & = \frac{-n}{1} \\ n & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ 3m-n = 3.\frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4 $
Jadi, nilai $ 3m-n = -4. \heartsuit $
$ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 4x - n $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ artinya 1 dan -5 adalah akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3mx^2 + 4x - n = 0 , \, $ akar-akarnya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = -5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ n \, $ dengan operasi akar-akar
Operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + (-5) & = \frac{-4}{3m} \\ -4 & = \frac{-4}{3m} \\ 1 & = \frac{1}{3m} \\ 3m & = 1 \\ m & = \frac{1}{3} \end{align}$
Operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . (-5) & = \frac{-n}{3m} \\ -5 & = \frac{-n}{1} \\ n & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ 3m-n = 3.\frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4 $
Jadi, nilai $ 3m-n = -4. \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) . \, $
Jika $ |A| \, $ menyatakan determinan $ A , \, $ maka nilai $ a \, $ yang memenuhi $ {}^2 \log a = 2^{|A|} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan matriks $ A \, $ yaitu $ |A| $
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.4 - 1.2 = 4-2 = 2 $
$\clubsuit \, $ Definisi log : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} {}^2 \log a & = 2^{|A|} \\ {}^2 \log a & = 2^{2} \\ {}^2 \log a & = 4 \\ a & = 2^4 \\ a & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 16. \heartsuit $
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.4 - 1.2 = 4-2 = 2 $
$\clubsuit \, $ Definisi log : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} {}^2 \log a & = 2^{|A|} \\ {}^2 \log a & = 2^{2} \\ {}^2 \log a & = 4 \\ a & = 2^4 \\ a & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 16. \heartsuit $
Nomor 15
Titik-titik P dan Q masing-masing mempunyai absis $ 2p \, $ dan $ -3p \, $ terletak pada parabola $ y = x^2 - 1. \, $
Jiga garis $ g \, $ tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $ g \, $ memotong sumbu Y di titik
berordinat ....
$\clubsuit \, $ Menentukan titik P dan Q
Titik P : absis = $ 2p \, $ artinya $ x = 2p $
Substitusi $ x = 2p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (2p)^2 - 1 = 4p^2 - 1 $
Sehingga titik P($2p, 4p^2-1$)
Titik Q : absis = $ -3p \, $ artinya $ x = -3p $
Substitusi $ x = -3p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (-3p)^2 - 1 = 9p^2 - 1 $
Sehingga titik Q($-3p, 9p^2-1$)
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis PQ ($m_{PQ}$)
$\begin{align} m_{PQ} & = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{(9p^2-1)-(4p^2-1)}{(-3p)-(2p)} \\ & = \frac{5p^2}{-5p} \\ m_{PQ} & = -p \\ \end{align} $
$\clubsuit \, $ Gradien garis $ g \, $ tegak lurus garis PQ
$\begin{align} m_g & = -\frac{1}{m_{PQ}} \\ & = -\frac{1}{-p} \\ m_g & = \frac{1}{p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Garis $ g \, $ menyinggung parabola $ y = x^2 - 1 $
$ y^\prime = 2x , \, $ gradien garis $ g \, : m_g = y^\prime $
$\begin{align} m_g & = y^\prime \\ \frac{1}{p} & = 2x \\ x & = \frac{1}{2p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik singgung garis $ g \, $ dengan substitusi $ x = \frac{1}{2p} $
$ y = x^2 - 1 = \left(\frac{1}{2p}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4p^2} - 1 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) $
Persamaan garis singgungnya melalui $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) \, $ dengan $ m = \frac{1}{p} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}.(x-\frac{1}{2p}) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} + (\frac{1}{4p^2} - 1) \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 \end{align} $
Memotong sumbu Y, substitusi $ x = 0 \, $
$ y = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 = \frac{1}{p}.0-\frac{1}{4p^2} - 1 = -\frac{1}{4p^2} - 1 $
Jadi, ordinatnya adalah $ y = -\frac{1}{4p^2} - 1 . \heartsuit $
Titik P : absis = $ 2p \, $ artinya $ x = 2p $
Substitusi $ x = 2p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (2p)^2 - 1 = 4p^2 - 1 $
Sehingga titik P($2p, 4p^2-1$)
Titik Q : absis = $ -3p \, $ artinya $ x = -3p $
Substitusi $ x = -3p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (-3p)^2 - 1 = 9p^2 - 1 $
Sehingga titik Q($-3p, 9p^2-1$)
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis PQ ($m_{PQ}$)
$\begin{align} m_{PQ} & = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{(9p^2-1)-(4p^2-1)}{(-3p)-(2p)} \\ & = \frac{5p^2}{-5p} \\ m_{PQ} & = -p \\ \end{align} $
$\clubsuit \, $ Gradien garis $ g \, $ tegak lurus garis PQ
$\begin{align} m_g & = -\frac{1}{m_{PQ}} \\ & = -\frac{1}{-p} \\ m_g & = \frac{1}{p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Garis $ g \, $ menyinggung parabola $ y = x^2 - 1 $
$ y^\prime = 2x , \, $ gradien garis $ g \, : m_g = y^\prime $
$\begin{align} m_g & = y^\prime \\ \frac{1}{p} & = 2x \\ x & = \frac{1}{2p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik singgung garis $ g \, $ dengan substitusi $ x = \frac{1}{2p} $
$ y = x^2 - 1 = \left(\frac{1}{2p}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4p^2} - 1 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) $
Persamaan garis singgungnya melalui $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) \, $ dengan $ m = \frac{1}{p} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}.(x-\frac{1}{2p}) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} + (\frac{1}{4p^2} - 1) \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 \end{align} $
Memotong sumbu Y, substitusi $ x = 0 \, $
$ y = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 = \frac{1}{p}.0-\frac{1}{4p^2} - 1 = -\frac{1}{4p^2} - 1 $
Jadi, ordinatnya adalah $ y = -\frac{1}{4p^2} - 1 . \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.