Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Satu dadu dilempar 3 kali. Peluang mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali adalah ....

$\spadesuit \,$ Satu dadu dilempar 3 kali,

$n(S) = 6^3 = 216$

$\spadesuit \,$ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali, dalam hal ini dibagi menjadi tiga kasus
1). muncul mata dadu 6 satu kali :
misal muncul pelemparan pertama : cara = 1.5.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada

$C_1^3 = 3 \,$ posisi (pelemparan pertama atau kedua atau ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 satu kali :

$n(A_1) = C_1^3 . (1.5.5) = 3. (25) = 75$
2). muncul mata dadu 6 dua kali :
misal muncul pelemparan pertama dan kedua : cara = 1.1.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada

$C_2^3 = 3 \,$ posisi (pelemparan pertama kedua atau kedua ketiga atau pertama ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 dua kali :

$n(A_2) = C_2^3 . (1.1.5) = 3. (5) = 15$
3). muncul mata dadu 6 tiga kali :
misal muncul pelemparan pertama kedua ketiga: cara = 1.1.1 ,
munculnya mata dadu 6 ada

$C_3^3 = 1 \,$ posisi (pelemparan pertama kedua ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 tiga kali :

$n(A_3) = C_3^3 . (1.1.1) = 1. (1) = 1$
Sehingga total cara muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali :

$n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 75 + 15 + 1 = 91$

$\spadesuit \,$ Menentukan peluangnya

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{91}{216}$
Keterangan : 1.5.5 artinya pelemparan pertama muncul angka 6 (ada 1 kemungkinan), pelemparan kedua muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5), dan pelemparan ketiga muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5).
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah

$\frac{91}{216} . \heartsuit$

Cara II : peluang komplemen

$\spadesuit \,$ Satu dadu dilempar 3 kali,

$n(S) = 6^3 = 216$

$\spadesuit \,$ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali.
Pada kasus ini kita gunakan peluang komplemen (lawannya) yaitu kebalikan dari harapannya.
Misal : A = kejadian harapannya (sedikitnya muncul sekali) ,

$A^c \,$ = kejadian tidak munculnya mata dadu 6 (kebalikan dari kejadian A)
Konsep peluang komplemen :

$P(A) = 1 - P(A^c)$

$\spadesuit \,$ Menentukan peluang komplemennya
Mata dadu 6 tidak muncul sama sekali,

$n(A^c) = 5.5.5 = 125$

$P(A^c) = \frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{125}{216}$
Sehingga :

$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah

$\frac{91}{216} . \heartsuit$

Nomor 12

Jika

$g(x-2) = \frac{x-4}{x+2} \,$ dan

$f(x) = x^2 + 3 , \,$ maka

$(f \circ g^{-1}) (2) = ....$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan fungsi

$g(x-2)$
misal

$y = x-2 \rightarrow x = y+2 , \,$ substitusi ke fungsi

$g(x-2)$

$\begin{align} g(x-2) & = \frac{x-4}{x+2} \\ g(y) & = \frac{(y+2)-4}{(y+2)+2} \\ g(y) & = \frac{y-2}{y+4} \\ g(x) & = \frac{x-2}{x+4} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan invers fungsi

$g(x)$

$g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a}$

$g(x) = \frac{x-2}{x+4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{4x+2}{-x+1}$
Sehingga nilai

$g^{-1} (2) = \frac{4.(2)+2}{-(2)+1} = \frac{10}{-1} = -10$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} (f \circ g^{-1}) (2) & = f \left( g^{-1} (2) \right) \\ & = f \left( -10 \right) \\ & = (-10)^2 + 3 \\ & = 100 + 3 \\ (f \circ g^{-1}) (2) & = 103 \end{align}$
Jadi, nilai

$(f \circ g^{-1}) (2) = 103 . \heartsuit$

Nomor 13

Jika

$m \,$ dan

$n \,$ bilangan real dan fungsi

$f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \,$ memenuhi

$f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \,$ maka

$3m-n = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan fungsinya

$f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \,$

$f^\prime (x) = 3mx^2 + 4x - n$

$\spadesuit \,$ Bentuk

$f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \,$ artinya 1 dan -5 adalah akar-akar dari

$f^\prime (x) = 0$

$f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3mx^2 + 4x - n = 0 , \,$ akar-akarnya

$x_1 = 1 \,$ dan

$x_2 = -5$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$m \,$ dan

$n \,$ dengan operasi akar-akar
Operasi penjumlahan :

$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + (-5) & = \frac{-4}{3m} \\ -4 & = \frac{-4}{3m} \\ 1 & = \frac{1}{3m} \\ 3m & = 1 \\ m & = \frac{1}{3} \end{align}$
Operasi perkalian :

$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . (-5) & = \frac{-n}{3m} \\ -5 & = \frac{-n}{1} \\ n & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai

$3m-n = 3.\frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4$
Jadi, nilai

$3m-n = -4. \heartsuit$

Nomor 14

Diketahui matriks

$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) . \,$ Jika

$|A| \,$ menyatakan determinan

$A , \,$ maka nilai

$a \,$ yang memenuhi

${}^2 \log a = 2^{|A|} \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan matriks

$A \,$ yaitu

$|A|$

$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.4 - 1.2 = 4-2 = 2$

$\clubsuit \,$ Definisi log :

${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} {}^2 \log a & = 2^{|A|} \\ {}^2 \log a & = 2^{2} \\ {}^2 \log a & = 4 \\ a & = 2^4 \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai

$a = 16. \heartsuit$

Nomor 15

Titik-titik P dan Q masing-masing mempunyai absis

$2p \,$ dan

$-3p \,$ terletak pada parabola

$y = x^2 - 1. \,$ Jiga garis

$g \,$ tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis

$g \,$ memotong sumbu Y di titik berordinat ....

$\clubsuit \,$ Menentukan titik P dan Q
Titik P : absis =

$2p \,$ artinya

$x = 2p$
Substitusi

$x = 2p \,$ ke fungsi

$y = x^2 - 1$

$y = x^2 - 1 = (2p)^2 - 1 = 4p^2 - 1$
Sehingga titik P(

$2p, 4p^2-1$ )
Titik Q : absis =

$-3p \,$ artinya

$x = -3p$
Substitusi

$x = -3p \,$ ke fungsi

$y = x^2 - 1$

$y = x^2 - 1 = (-3p)^2 - 1 = 9p^2 - 1$
Sehingga titik Q(

$-3p, 9p^2-1$ )

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis PQ (

$m_{PQ}$ )

$\begin{align} m_{PQ} & = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{(9p^2-1)-(4p^2-1)}{(-3p)-(2p)} \\ & = \frac{5p^2}{-5p} \\ m_{PQ} & = -p \\ \end{align}$

$\clubsuit \,$ Gradien garis

$g \,$ tegak lurus garis PQ

$\begin{align} m_g & = -\frac{1}{m_{PQ}} \\ & = -\frac{1}{-p} \\ m_g & = \frac{1}{p} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Garis

$g \,$ menyinggung parabola

$y = x^2 - 1$

$y^\prime = 2x , \,$ gradien garis

$g \, : m_g = y^\prime$

$\begin{align} m_g & = y^\prime \\ \frac{1}{p} & = 2x \\ x & = \frac{1}{2p} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung garis

$g \,$ dengan substitusi

$x = \frac{1}{2p}$

$y = x^2 - 1 = \left(\frac{1}{2p}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4p^2} - 1$
Sehingga titik singgungnya :

$(x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1)$
Persamaan garis singgungnya melalui

$(x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) \,$ dengan

$m = \frac{1}{p}$

$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}.(x-\frac{1}{2p}) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} + (\frac{1}{4p^2} - 1) \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 \end{align}$
Memotong sumbu Y, substitusi

$x = 0 \,$

$y = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 = \frac{1}{p}.0-\frac{1}{4p^2} - 1 = -\frac{1}{4p^2} - 1$
Jadi, ordinatnya adalah

$y = -\frac{1}{4p^2} - 1 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu