Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Nilai maksimum

$a \,$ sehingga sistem persamaan

$\left\{ \begin{array}{c} x+y = 4a \\ 2x^2 + y^2 = 12a \end{array} \right. \,$ mempunyai penyelesaian adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
Dua persamaan atau kurva (yang ada kaitannya dengan persamaan kuadrat) mempunyai penyelesaian (titik potong) jika nilai Diskriminannya lebih besar atau sama dengan nol (

$D \geq 0$ ).

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
pers(i) :

$x+y = 4a \rightarrow y = 4a - x$
pers(ii) :

$\begin{align} 2x^2 + y^2 & = 12a \\ 2x^2 + (4a-x)^2 & = 12a \\ 2x^2 + 16a^2 - 8ax + x^2 & = 12a \\ 3x^2 - 8ax + 16a^2 - 12a & = 0 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Syarat mempunyai penyelesaian :

$D \geq 0$

$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-8a)^2 - 4.3.(16a^2-12a) & \geq 0 \\ 64a^2 - 4.3.4(4a^2-3a) & \geq 0 \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4a^2 - 12a^2 + 9a & \geq 0 \\ -8a^2 + 9a & \geq 0 \\ a(-8a + 9 ) & \geq 0 \\ a=0 \vee a & = \frac{9}{8} \end{align}$

Nilai

$a \,$ yang memenuhi adalah

$\{ 0 \leq a \leq \frac{9}{8} \} \,$ .
Sehingga nilai maksimumnya :

$a_\text{maks} = \frac{9}{8}$
Jadi, nilai

$a_\text{maks} = \frac{9}{8} . \heartsuit$

Nomor 7

Semua nilai

$p \,$ yang memenuhi pertidaksamaan

$\frac{p}{p-2} < \frac{p-1}{p+2} \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya

$\begin{align} \frac{p}{p-2} & < \frac{p-1}{p+2} \\ \frac{p}{p-2} - \frac{p-1}{p+2} & < 0 \\ \frac{p(p+2) - (p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{(p^2+2p) - (p^2-3p+2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{5p-2}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ p = \frac{2}{5}, \, p = 2 , \, p & = -2 \end{align}$

Jadi, solusinya

$HP = \{ p < -2 \vee \frac{2}{5} < p < 2 \} . \heartsuit$

Nomor 8

Jika

$\cos x=2\sin x$ , maka nilai

$\sin x \cos x$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\tan x$ dengan

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$

$\spadesuit \,$ Buat segitiga dari nilai

$\tan x=\frac{1}{2}$ :

sehingga

$\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai

$\sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit$

Nomor 9

Diketahui

$p, x,y \,$ merupakan bilangan real dengan

$x > 0. \,$ Jika

$p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \,$ membentuk barisan geometri, maka

$p^6x^{-3} = .....$

$\clubsuit \,$ Sifat eksponen :

$(a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$\clubsuit \,$ Barisan Geometri :

$p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \,$
Barisan geometri :

$p,x,y$
Rasio sama,

$\frac{x}{p} = \frac{y}{x} \rightarrow x^2 = p.y \rightarrow y = \frac{x^2}{p} \,$ ...pers(i)
Barisan geometri :

$x,y, \frac{1}{5}x^2$
Rasio sama,

$\frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{5}x^2}{y} \rightarrow y^2 = \frac{1}{5}x^3 \,$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)

$\begin{align} y = \frac{x^2}{p} \rightarrow y^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \left( \frac{x^2}{p} \right)^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \frac{x^4}{p^2} & = \frac{1}{5}x^3 \\ 5x & = p^2 \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (5x)^3 & = ( p^2 )^3 \\ 125x^3 & = p^6 \\ \frac{p^6}{x^3} & = 125 \\ p^6.x^{-3} & = 125 \end{align}$
Jadi, nilai

$p^6.x^{-3} = 125 . \heartsuit$

Nomor 10

Jika

$A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) , \,$ B memiliki invers, dan

$(AB^{-1})^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) , \,$ maka matriks B = ....

$\spadesuit \,$ Sifat invers pada matriks
sifat(1) :

$(A^{-1})^{-1} = A$
sifat(2) :

$(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1}$
sifat(3) :

$BA = C \rightarrow B = C . A^{-1}$

$\spadesuit \,$ Menentukan matriks

$B$ dengan sifat invers

$\begin{align} (AB^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(2)]} \\ (B^{-1})^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(3)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). (A^{-1})^{-1} \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). A \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, matriks

$B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar