Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2003 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} = ....$

$\clubsuit \,$ Pemfaktoran

$p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$
Sehingga :

$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1)$

$\clubsuit \,$ Merasionalkan bentuk akar

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1) -3\sqrt{x} ]}{(x-1)(x-1)} . \frac{(2x+1) + 3\sqrt{x}}{(2x+1) + 3\sqrt{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1)^2 -(3\sqrt{x}^2 ]}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 + 4x + 1 - 9x}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 - 5x + 1}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)}{(\sqrt{x}+1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \frac{(4.1-1)}{(\sqrt{1}+1)[(2.1+1) + 3\sqrt{1}]} \\ & = \frac{(4-1)}{(2)[2 + 1 + 3]} \\ & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{1}{4} . \heartsuit$

Nomor 12

Vektor

$\vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \,$ dan

$\, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}. \,$ Jika panjang proyeksi

$\vec{u}$ pada

$\, \vec{v} \,$ adalah 6, maka

$x = .....$

$\spadesuit \,$ Panjang proyeksi

$\vec{u}$ pada

$\vec{v}$
panjang =

$\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|}$

$\spadesuit \,$ mementukan

$\vec{u}.\vec{v} \,$ dan

$|\vec{v}|$

$\vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \,$ dan

$\, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}$

$\begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3.2+4.3+x.(-6) = 18 - 6x \\ |\vec{v}| & = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2 } = \sqrt{49} = 7 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x \,$ dengan panjang proyeksi = 6

$\begin{align} \text{panjang} & = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \\ 6 & = \frac{18 - 6x}{7} \, \, \text{(bagi 6)} \\ 1 & = \frac{3 - x}{7} \\ 7 & = 3-x \\ x = -4 \end{align}$
Jadi, nilai

$x = -4. \heartsuit$

Nomor 13

Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Ada 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, akan dipilih 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi.

$\spadesuit \,$ Pada kasus ini urutan orang tidak diperhatikan sehingga menggunakan kombinasi
Total cara =

$C_2^3. C_3^5 = 3 . 10 = 30 \,$ cara
Keterangan :

$C_2^3 \,$ artinya memilih 2 orang dari 3 orang matematikawan

$C_3^5 \,$ artinya memilih 3 orang dari 5 orang teknisi
Jadi, ada 30 cara penyusunan tim.

$\heartsuit$

Nomor 14

Jika A, B, dan C matriks 2

$\times$ 2 yang memenuhi

$AB = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \,$ dan

$\, CB = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) .$ Maka

$CA^{-1} \,$ adalah .....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar invers

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$
Sifat - sifat pada matriks :

$A.A^{-1} = A^{-1} . A = I$

$A.I = I.A = A$

$(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1}$

$\spadesuit \,$ inverskan bentuk

$AB$

$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ (AB)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)^{-1} \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{0.0-(-1).1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$

$\spadesuit \,$ Mengalikan bentuk

$CB$ dan (

$B^{-1} A^{-1}$ )

$\begin{align} (CB).(B^{-1}. A^{-1}) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.(B.B^{-1}) . A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.I. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai

$C A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor 15

Diketahui

$\int f(x)dx = ax^2 + bx + c \,$ dan

$a \neq 0 \,$ . Jika

$a, \, f(a), \, 2b \,$ merupakan barisan aritmetika, dan

$f(b) = 6 ,$ maka

$\int \limits_0^1 f(x) dx = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$f(x) = [\int f(x) dx]^\prime \,$ (turunan dari integralnya)

$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi

$f(x)$

$\begin{align} \int f(x)dx & = ax^2 + bx + c \\ f(x) & = [\int f(x) dx]^\prime \, \, \text{(turunannya)} \\ f(x) & = 2ax + b \\ x=a \rightarrow f(a) & = 2a.a + b = 2a^2 + b \end{align}$

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika :

$a, \, f(a), \, 2b \,$
Selisih sama :

$\begin{align} f(a) - a & = 2b - f(a) \\ 2f(a) & = a + 2b \\ 2(2a^2 + b) & = a + 2b \\ 4a^2 - a & = 0 \\ a(4a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Karena

$a \neq 0, \,$ maka

$a = \frac{1}{4} \,$ yang memenuhi.
sehingga :

$f(x) = 2ax + b = 2. \frac{1}{4}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + b$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$b$ dengan

$f(b) = 6$

$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x + b \\ f(b) & = 6 \\ \frac{1}{2}b + b & = 6 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga

$f(x) = \frac{1}{2}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + 4$

$\clubsuit \,$ Menentukan integralnya

$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x) dx & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + 4) dx \\ & = (\frac{1}{4}x^2 + 4x )_0^1 \\ & = (\frac{1}{4}. 1^2 + 4.1 ) - (0 ) & = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai

$\int \limits_0^1 f(x) dx = \frac{17}{4} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu