Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2004 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diberikan dua matriks A dan B sebagai berikut :

$A = \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right)$
Jika

$AB = BA, \,$ maka

$\frac{k}{m} = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar

$\begin{align} AB & = BA \\ \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 45 & 5m+5k \\ 0 & 10 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 45 & 9k+2m \\ 0 & 10 \end{matrix} \right) \\ \text{Sehingga : } \, 5m+5k & = 9k + 2m \\ 5m-2m & = 9k - 5k \\ 3m & = 4k \\ \frac{3}{4} & = \frac{k}{m} \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{k}{m} = \frac{3}{4} . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal

$a$ dan rasio

$r$ . Jika jumlah suku awal dan rasionya sama dengan 6 dan jumlah semua sukunya sama dengan 5, maka

$\frac{a}{r} = ....$

$\clubsuit \,$ Jumlah suku pertama dan rasio

$a + r = 6 \,$ ....pers(i)

$\clubsuit \,$ Jumlah semua suku tak hingga (

$S_\infty$ )

$\begin{align} S_\infty & = 5 \\ \frac{a}{1-r} & = 5 \\ a & = 5-5r \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(i)

$\begin{align} a + r & = 6 \\ (5-5r) + r & = 6 \\ 5-4r & = 6 \\ r & = -\frac{1}{4} \end{align}$
pers(i) :

$a+r = 6 \rightarrow a + (-\frac{1}{4}) = 6 \rightarrow a = \frac{25}{4}$
Sehingga nilai

$\frac{a}{r} = \frac{\frac{25}{4}}{-\frac{1}{4} } = -25$
Jadi, nilai

$\frac{a}{r} = - 25. \heartsuit$

Nomor 8

Suatu sekolah membentuk suatu tim delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5 anak kelas II, dan 6 anak kelas III. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah ....

$\spadesuit \,$ Ada 4I, 5II, 6III

$\spadesuit \,$ Ada dua kemungkinan agar ketua asal kelas lebih tinggi dari wakil dan sekretaris

1. Ketua dari kelas III, maka wakil dan sekretaris boleh dari kelas II atau I atau kombinasinya. Banyak cara terlihat pada (gambar i).
Cara I = 6 . 9 . 8 = 432
Keterangan : Ketua ada 6 pilihan karena hanya dari kelas III, sementara wakil dan sekretaris bebas dari kelas II dan I (ada 9 pilihan siswa) untuk ditempatkan jadi wakil dan sekretaris ( 9 . 8 )
2. Ketua dari kelas II, maka wakil dan sekretaris hanya dari kelas I. Banyak cara terlihat pada (gambar ii).
Cara II = 5.4.3 = 60
Keterangan : Ketua ada 5 pilihan karena hanya dari kelas II, sementara wakil dan sekretaris hanya dari kelas I ( ada 4 pilihan siswa) untuk menjadi wakil dan sekretaris ( 4.3)
Sehingga total = cara I + cara II = 432 + 60 = 492.
Jadi, susunan kemungkinannya ada 492 cara.

$\heartsuit$

Nomor 9

Jika

$a > 0, b > 0 \,$ dan

$\, {}^a \log b + {}^b \log a^4 + 4 = 0, \,$ maka

$a^2b - {}^a \log b = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar logaritma
Sifat logaritma :

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }, \,$ dan

${}^a \log b^n = n. {}^a \log b$
Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c$

$\clubsuit \,$ misal :

$p = {}^a \log b$

$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a^4 + 4 & = 0 \\ {}^a \log b + 4.{}^b \log a + 4 & = 0 \\ {}^a \log b + 4.\frac{1}{{}^a \log b} + 4 & = 0 \\ p + 4. \frac{1}{p} + 4 & = 0 \, \, \text{ (kali } \, p ) \\ p^2 + 4 + 4p & = 0 \\ (p+2)^2 & = 0 \rightarrow p = -2 \\ p = -2 \rightarrow {}^a \log b & = -2 \\ b & = a^{-2} \\ b & = \frac{1}{a^2} \\ a^2b & = 1 \end{align}$
Sehingga :

$a^2b - {}^a \log b = 1 - (-2) = 3$
Jadi, nilai

$a^2b - {}^a \log b = 3 . \heartsuit$

Nomor 10

Semua nilai - nilai

$x$ yang memenuhi

$2^{-x^2+x+6} > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b }$
adalah ....

$\spadesuit \,$ Sifat - sifat logaritma :

${}^a \log a = 1$

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } \,$ dan

$\, \, {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} 2^{-x^2+x+6} & > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b } \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log b . {}^c \log a . {}^c \log b \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log b . {}^b \log c . {}^c \log a \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log a \\ 2^{-x^2+x+6} & > 1 \\ 2^{-x^2+x+6} & > 2^0 \\ -x^2+x+6 & > 0 \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$