Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2006 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika

$0 \leq x \leq \pi \,$ , maka himpunan penyelesaian pertaksamaan

$\cos x - \sin 2x < 0 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Trigonometri :

$\sin 2 x = 2\sin x . \cos x$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \cos x - \sin 2x & < 0 \\ \cos x - 2\sin x . \cos x & < 0 \\ \cos x (1-2\sin x ) & < 0 \\ \cos x = 0 & \vee \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \rightarrow & \, x = \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \\ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow & \, x = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} \end{align}$

$HP = \{ \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \cup \frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2} \}$
Jadi, solusi yang memenuhi

$0 \leq x \leq \pi \,$ adalah

$HP = \{ \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \} \cup \{ \frac{5\pi}{6} < x \leq \pi \} . \heartsuit$

Nomor 12

Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat

$(p-2)x^2 + 2px + p-1 = 0 \,$ negatif dan berlainan adalah ....

$\spadesuit \,$ PK :

$(p-2)x^2 + 2px + p-1 = 0$

$\rightarrow a = p-2, \, b = 2p , \, c = p-1$

$\spadesuit \,$ Syarat akar-akar negatif dan berlainan

$x_1+x_2 < 0 , \, x_1.x_2 > 0 , \,$ dan

$\, D > 0$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan syarat-syaratnya

$\begin{align} \text{syarat I: } \, x_1+x_2 < 0 \rightarrow \frac{-b}{a} & < 0 \\ \frac{-2p}{p-2} & < 0 \\ p=0 & \vee p = 2 \end{align}$

$HP1 = \{ p < 0 \vee p > 2 \}$

$\begin{align} \text{syarat II: } \, x_1.x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} & > 0 \\ \frac{p-1}{p-2} & > 0 \\ p=1 & \vee p = 2 \end{align}$

$HP2 = \{ p < 1 \vee p > 2 \}$

$\begin{align} \text{syarat III: } \, D > 0 \rightarrow b^2 - 4ac & > 0 \\ (2p)^2 - 4(p-2)(p-1) & > 0 \\ 4p^2 - 4p^2 + 12p - 8 & > 0 \\ 12p & > 8 \\ p & > \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \\ HP3 & = \{ p > \frac{2}{3} \} \end{align}$
Sehingga solusinya :

$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ p > 2 \} \end{align}$
Jadi, solusinya

$HP = \{ p > 2 \} . \heartsuit$

Nomor 13

Melalui titik (

$1, \, -\frac{3}{4}$ ) dibuat garis singgung pada parabola

$y = \frac{1}{4}x^2 \,$ , absis kedua titik singgungnya adalah ....

$\spadesuit \,$ Misalkan persamaan garis singgungnya :

$y = mx + b \, \,$ ....pers(i)

$\spadesuit \,$ Substitusi titik (

$1, \, -\frac{3}{4}$ ) ke pers(i)

$\begin{align} (1, \, -\frac{3}{4}) \rightarrow y & = mx + b \\ -\frac{3}{4} & = m.1 + b \\ b & = -m -\frac{3}{4} \end{align}$
Sehingga garisnya menjadi :

$y = mx + b \rightarrow y = mx -m -\frac{3}{4} \, \,$ ....pers(ii)

$\spadesuit \,$ Gradien garis singgung :

$m = f^\prime (x)$

$y = \frac{1}{4} x^2 \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}x$
sehingga :

$m = f^\prime (x) \rightarrow m = \frac{1}{2}x$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$m = \frac{1}{2}x$ ke pers(ii)

$y = mx -m -\frac{3}{4} \rightarrow y = \frac{1}{2}x.x -\frac{1}{2}x -\frac{3}{4}$

$y = \frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{3}{4} \, \,$ ....pers(iii)

$\spadesuit \,$ Karena bersinggungan, maka nilai parabola = garis

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{4} x^2 & = \frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{3}{4} \, \, \text{(kali 4)} \\ x^2 & = 2x^2 -2x -3 \\ x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x=-1 & \vee x = 3 \end{align}$
Jadi, absis titik singgungnya adalah

$x = -1 \,$ dan

$x = 3 . \heartsuit$

Cara II : Menentukan nilai

$m$ (gradiennya)

$\spadesuit \,$ Misalkan persamaan garis singgungnya :

$y = mx + b \, \,$ ....pers(i)

$\spadesuit \,$ Substitusi titik (

$1, \, -\frac{3}{4}$ ) ke pers(i)

$\begin{align} (1, \, -\frac{3}{4}) \rightarrow y & = mx + b \\ -\frac{3}{4} & = m.1 + b \\ b & = -m -\frac{3}{4} \end{align}$
Sehingga garisnya menjadi :

$y = mx + b \rightarrow y = mx -m -\frac{3}{4} \, \,$ ....pers(ii)

$\spadesuit \,$ Syarat bersinggungan :

$D = 0$

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{4} x^2 & = mx -m -\frac{3}{4} \, \, \text{(kali 4)} \\ x^2 & = 4mx - 4m - 3 \\ x^2 - 4mx +4m + 3 & = 0 \\ D & = 0 \, \, \text{(syarat garis singgung)} \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-4m)^2 - 4.1.(4m+3) & = 0 \\ 16m^2 -16m -12 & = 0 \\ 4m^2 - 4m - 4 & = 0 \\ (2m+1)(2m-3) & = 0 \\ m = \frac{-1}{2} & \vee m = \frac{3}{2} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Gradien garis singgung :

$m = f^\prime (x)$

$y = \frac{1}{4} x^2 \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}x$
sehingga :

$m = f^\prime (x) \rightarrow m = \frac{1}{2}x$
untuk

$m = \frac{-1}{2} \rightarrow \frac{-1}{2} = \frac{1}{2}x \rightarrow x = -1$
untuk

$m = \frac{3}{2} \rightarrow \frac{3}{2} = \frac{1}{2}x \rightarrow x = 3$
Jadi, absis titik singgungnya adalah

$x = -1 \,$ dan

$x = 3 . \heartsuit$

Nomor 14

Diketahui

$p(x) = ax^5 + bx -1 \,$ dengan

$a$ dan

$b$ adalah konstan. Jika

$p(x)$ dibagi

$(x-2006)$ bersisa 3, maka bila

$p(x)$ dibagi dengan

$(x+2006)$ akan bersisa ....

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{P(x)}{x+a} \rightarrow \, \text{sisa} \, = P(-a)$

$\spadesuit \,$ Pembagian

$p(x) = ax^5 + bx -1 \,$ dibagi (

$x-2006$ ),
dengan sisa = 3

$\frac{p(x)}{x-2006} \rightarrow \, \text{sisa} \, = p(2006) \rightarrow 3 = p(2006)$
Diperoleh :

$\begin{align} p(2006) = 3 \rightarrow a(2006)^5 + b.(2006) -1 & = 3 \\ a(2006)^5 + b(2006) & = 4 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Pembagian

$p(x) = ax^5 + bx -1 \,$ dibagi (

$x+2006$ )

$\frac{p(x)}{x+2006} \rightarrow \, \text{sisa} \, = p(-2006)$
Diperoleh :

$\begin{align} \text{sisa} \, & = p(-2006) \\ & = a(-2006)^5 + b(-2006) -1 \\ & = -a(2006)^5 - b(2006) -1 \\ & = -[a(2006)^5 + b(2006)] -1 \, \, \, \, \text{[dari pers(i)]} \\ & = -[4] -1 \\ & = -5 \end{align}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah -5.

$\heartsuit$

Nomor 15

Jika

$\, \frac{8^x}{2^y} = 32 \,$ dan

$\, 4^x.2^y = 32^2 \, ,$ maka

$\, x+y = ....$

$\clubsuit \,$ Sifat eksponen :

$a^m.a^n = a^{m+n}, \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \,$ dan

$(a^m)^n = a^{mn}$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal
Persamaan pertama :

$\begin{align} \frac{8^x}{2^y} = 32 \rightarrow \frac{(2^3)^x}{2^y} & = 2^5 \\ \frac{2^{3x}}{2^y} = 2^5 \rightarrow 2^{3x-y} & = 2^5 \\ 3x-y & = 5 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} 4^x.2^y = 32^2 \rightarrow (2^2)^x.2^y & = (2^5)^2 \\ \frac{2^{2x}}{2^y} = 2^{10} \rightarrow 2^{2x+y} & = 2^{10} \\ 2x+y & = 10 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 3x-y = 5 & \\ 2x+y = 10 & + \\ \hline 5x = 15 & \\ x = 3 & \end{array}$
pers(ii):

$2x+y = 10 \rightarrow 2.3 +y = 10 \rightarrow y = 4$
Sehingga nilai

$x + y = 3 + 4 = 7$
Jadi, nilai

$x + y = 7. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu