Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2007 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui

$f(x) = \frac{1-x}{x} \,$ untuk setiap bilangan real

$x \neq 0 . \,$ Jika

$g: R \rightarrow R \,$ adalah suatu fungsi sehingga

$(g\circ f)(x) = 2x+1, \,$ maka fungsi invers

$g^{-1} (x) = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan komposisinya

$\begin{align} (g\circ f) (x) & = 2x + 1 \\ g(f(x)) & = 2x + 1 \\ g \left( \frac{1-x}{x} \right) & = 2x + 1 \\ \text{misal} \, y & = \frac{1-x}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y+1} \\ g \left( \frac{1-x}{x} \right) & = 2x + 1 \\ g ( y ) & = 2 . \left( \frac{1}{y+1} \right) + 1 \\ g ( y ) & = \frac{y+3}{y+1} \\ g ( x ) & = \frac{x+3}{x+1} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan inversnya
konsep :

$g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a}$
sehingga invernya :

$g ( x ) = \frac{x+3}{x+1} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{x-3}{-x+1} = \frac{x-3}{1-x}$
Jadi, fungsi inversnya adalah

$g^{-1} (x) = \frac{x-3}{1-x} . \heartsuit$

Nomor 7

Jika garis singgung di titik (1,2) pada parabola

$y = ax^2 + bx + 4 \,$ memiliki persamaan

$y = -6x+8, \,$ maka nilai

$a \,$ dan

$b \,$ berturut-turut adalah ....

$\clubsuit \,$ Substitusi titik singgung ke parabolanya

$\begin{align} (1,2) \rightarrow y & = ax^2+bx+4 \\ 2 & = ax.1^2+b.1+4 \\ a+b & = -2 \, \, \text{...pesr(i)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan dan gradien garis singgung

$y = ax^2 + bx + 4 \rightarrow y^\prime = 2ax + b$

$y = -6x+8 \rightarrow m = -6$
gradien garis singgung di titik (1,2)

$\begin{align} m & = f^\prime (1) \\ -6 & = 2a.1 + b \\ 2a+b & = -6 \, \, \text{...pesr(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 2a+b = -6 & \\ a+b = -2 & - \\ \hline a = -4 & \end{array}$
pers(i) :

$a+b = -2 \rightarrow -4 + b = -2 \rightarrow b = 2$
Jadi, nilai

$a = -4 \,$ dan

$\, b = 2 . \heartsuit$

Nomor 8

Luas daerah dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi

$y = \sin x , \, y = \cos x \,$ dan sumbu X untuk

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Menentukan luas arsiran

$\begin{align} L_\text{arsir} & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_0^{45^\circ} \sin x dx + \int \limits_{45^\circ}^{90^\circ} \cos x dx \\ & = -[\cos x ]_0^{45^\circ} + [\sin x]_{45^\circ}^{90^\circ} \\ & = -[\cos 45^\circ - \cos 0 ] + [\sin 90^\circ - \sin 45^\circ] \\ & = -[\frac{1}{2}\sqrt{2} - 1 ] + [1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}] \\ & = 2 - \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, luas daerahnya adalah

$2 - \sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor 9

Dalam suatu ujian, perbandingan banyaknya peserta pria dan wanita adalah 6:5. Diketahui 3 peserta pria dan 1 peserta wanita tidak lulus. Jika perbandingan jumlah peserta pria dan wanita yang lulus ujian adalah 9:8, maka jumlah peserta yang lulus adalah ....

$\clubsuit \,$ Misal : P = siswa pria, W = siswa wanita
Perbandingan 6 : 5

$\frac{P}{W} = \frac{6}{5} \rightarrow P = \frac{6}{5} W \, \,$ ....pers(i)

$\clubsuit \,$ 3 pria dan 1 wanita tidak lulus

$\frac{P-3}{W-1} = \frac{9}{8} \rightarrow 8P = 9W + 15 \, \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)

$\begin{align} 8P & = 9W + 15 \\ 8(\frac{6}{5} W) & = 9W + 15 \, \, \text{(kali 5)} \\ 48W & = 45W + 75 \\ 3W & = 75 \rightarrow W = 25 \end{align}$
pers(i):

$P = \frac{6}{5} W = \frac{6}{5} .25 = 30$
Sehingga yang lulus = 30 + 25 - 4 = 51
Jadi, jumlah peserta yang lulus ada 51 orang.

$\heartsuit$

Nomor 10

Diketahui

$0 \leq a \leq \frac{\pi}{2} \,$ dan

$0 \leq b \leq \frac{\pi}{2} \,$ . Jika

$\sin a - \sin b = \frac{3}{5} \,$ dan

$\cos a + \cos b = \frac{4}{5}, \,$ maka

$\sin (a+b) = ....$

$\spadesuit \,$ Rumus dasar trigonometri
identitas :

$\sin ^2 a + \cos ^2 a = 1 \,$ dan

$\, \sin ^2 b + \cos ^2 b = 1$
Jumlah sudut :

$\cos (a + b ) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\spadesuit \,$ Kuadratkan kedua persamaan

$\begin{align} (\sin a - \sin b)^2 & = (\frac{3}{5})^2 \\ \sin ^2 a + \sin ^2 b - 2\sin a \sin b & = \frac{9}{25} \\ (\cos a + \cos b)^2 & = (\frac{4}{5})^2 \\ \cos ^2 a + \cos ^2 b + 2\cos a \cos b & = \frac{16}{25} \end{align}$
Jumlahkan kedua persamaan :

$\begin{array}{cc} \sin ^2 a + \sin ^2 b - 2\sin a \sin b & = \frac{9}{25} & \\ \cos ^2 a + \cos ^2 b + 2\cos a \cos b & = \frac{16}{25} & + \\ \hline & \end{array}$

$\begin{align} (\sin ^2 a + \cos ^2 a) + (\sin ^2 b + \cos ^2 b) & \\ + 2 (\cos a \cos b - \sin a \sin b) & = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \\ 1 + 1 + 2 \cos (a+b) & = 1 \\ \cos (a+b) & = - \frac{1}{2} \end{align}$
Buat segitiga :