Pembahasan Soal SELMA UM (Universitas Negeri Malang) Saintek Matematika IPA tahun 2014 kode 232 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui

$\, f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p. \,$ Fungsi

$f(x) \,$ mempunyai nilai maksimum 8. Jika

$p \,$ bernilai

$p_1 \,$ atau

$p_2 . \,$ Nilai

$p_1 + p_2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ FK :

$f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p$

$\rightarrow a = -2, b = -(p+1), c = 2p$

$\spadesuit \,$ Nilai maksimum FK (

$y_p$ ) dengan rumus

$y_p = \frac{D}{-4a}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$p \,$ dengan

$\, y_p = 8$

$\begin{align} y_p & = 8 \\ \frac{D}{-4a} & = 8 \\ \frac{b^2 - 4ac}{-4a} & = 8 \\ \frac{[-(p+1)]^2 - 4.(-2).(2p)}{-4.(-2)} & = 8 \\ \frac{ p^2 + 2p + 1 + 16p }{8} & = 8 \\ p^2 + 18p + 1 & = 64 \\ p^2 + 18p - 63 & = 0 \end{align}$
PK :

$p^2 + 18p - 63 = 0 , \,$ akar-akarnya

$p_1 \,$ dan

$\, p_2$
Sehingga :

$p_1 + p_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-18}{1} = -18$
Jadi, nilai

$p_1 + p_2 = - 18 . \heartsuit$

Nomor 12

Integral yang menyatakan luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva

$\, y = \frac{1}{x} \,$ , garis

$\, y = x, \,$ garis

$\, x = 2, \,$ dan sumbu X adalah ....

$\clubsuit \,$ Gambar

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsir

$\begin{align} L_{arsir} & = L_A + L_B \\ L_{arsir} & = \int \limits_0^1 x \, dx + \int \limits_1^2 \frac{1}{x} \, dx \end{align}$
Jadi, luasnya adalah

$\int \limits_0^1 x \, dx + \int \limits_1^2 \frac{1}{x} \, dx . \heartsuit$

Nomor 13

Satu dari dua persamaan garis singgung dari lingkaran

$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 \,$ yang tegak lurus terhadap garis

$x - 2y + 4 = 0 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 \rightarrow A = -2, B = -4, C = 0$
Pusat (

$a,b$ ) dengan

$a = - \frac{A}{2} = - \frac{-2}{2} = 1 \,$ dan

$\, b = -\frac{B}{2} = -\frac{-4}{2} = 2$
Sehingga pusatnya :

$(a,b) = (1,2)$
jari-jari :

$r =\sqrt{a^2+b^2-C} = \sqrt{1^2+2^2-0} = \sqrt{5}$

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien garis singgungnya

$x - 2y + 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-x}{y} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
Garis singgung tegak lurus, maka gradiennya :

$m.m_1 = -1 \rightarrow m = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} = -2$

$\spadesuit \,$ Menentukan persamaan garis singgung lingkaran

$\begin{align} y-b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y-2 & = -2(x-1) \pm \sqrt{5} \sqrt{1+(-2)^2} \\ y-2 & = -2x + 1 \pm \sqrt{5} \sqrt{5} \\ y-2 & = -2x + 1 \pm 5 \\ (i). \, y-2 & = -2x + 1 + 5 \rightarrow y+2x - 9 = 0 \\ & \text{(atau)} \\ (ii). \, y-2 & = -2x + 1 - 5 \rightarrow y+2x + 1 = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

$y+2x - 9 = 0 \vee y+2x + 1 = 0. \heartsuit$

Nomor 14

Rata-rata nilai ujian matematika dari 30 siswa adalah 88. Jika rata-rata nilai ujian itu untuk semua anak laki-laki dan semua anak perempuan berturut-turut adalah 85 dan 90, maka banyaknya anak laki-laki adalah ....

$\clubsuit \,$ Misal :

$\overline{x}_{gb} = 88 \rightarrow \,$ rata - rata gabungan

$\overline{x}_{p} = 90 \rightarrow \,$ rata - rata perempuan

$\overline{x}_{l} = 85 \rightarrow \,$ rata - rata laki - laki
Misal, banyak anak laki

$n_l$ , maka banyak anak perempuan

$n_p = 30 - n_l$

$\clubsuit \,$ Menentukan

$n_l$ dengan rata - rata gabungan

$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_p.\overline{x}_p + n_l . \overline{x}_l}{n_p + n_l} \\ 88 & = \frac{(30-n_l).90 + n_l . 85}{(30-n_l) + n_l} \\ 88 & = \frac{(30-n_l).90 + 85n_l}{30} \\ 88. 30 & = 30.90 - n_l . 90 + 85n_l \\ 88. 30 & = 30.90 - 5 n_l \\ 5n_l & = 30.90 - 88. 30 \\ 5n_l & = 30 . 2 \\ n_l & = \frac{30. 2}{5} = 12 \end{align}$
Jadi, banyaknya anak laki - laki ada 12 siswa.

$\heartsuit$

Nomor 15

Diketahui sebelas orang duduk mengelilingi meja. Jika tiga orang tertentu harus duduk berdampingan, banyak cara kesebelas orang tersebut dapat duduk adalah ....

$\clubsuit \,$ Gambar

$\clubsuit \,$ Agar 3 orang selalu bersama, kita blok tiga orang tersebut (seperti gambar) dan dianggap menjadi satu orang , sehingga sekarang toal ada 9 orang duduk melingkar dengan cara duduk = (9 - 1)! = 8!

$\clubsuit \,$ Dari tiga orang yang diblok tadi ada 3! susunan
sehingga total cara = 3!.8!
Jadi, total cara duduk ada 3!.8! susunan.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15