Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Simpangan kuartil dari data : 16 15 15 19 20 22 16 17 25 29 32 29 32 adalah ....

$\spadesuit \,$ Data diurutkan :

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai kuartil

$Q_1 = \frac{16+16}{2} = 16$

$Q_3 = \frac{29+29}{2} = 29$

$\spadesuit \,$ Menentukan simpangan kuartil

$S_k = \frac{1}{2}(Q_3-Q_1) = \frac{1}{2}(29-16)=\frac{1}{2}.13 = 6,5$
Jadi, simpangan kuartilnya adalah 6,5 .

$\heartsuit$

Nomor 17

Jumlah 6 suku pertama deret aritmetika adalah 24. Sedangkan jumlah 10 suku pertamanya adalah 100. Suku ke-21 adalah ....

$\clubsuit \,$ Barisan dan deret aritmetika :

$U_n = a + (n-1)b \, \,$ dan

$\, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dan

$\, b$

$S_6 = 24 \rightarrow \frac{6}{2}(2a+(6-1)b) = 24 \rightarrow 2a+5b=8 \, \,$ ...pers(i)

$S_{10} = 100 \rightarrow \frac{10}{2}(2a+(10-1)b) = 100 \rightarrow 2a+9b=20 \, \,$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 2a+9b=20 & \\ 2a+5b=8 & - \\ \hline 4b = 12 \rightarrow b=3 & \end{array}$
pers(i) :

$2a+5b=8 \rightarrow 2a + 5. 3 = 8 \rightarrow a = -\frac{7}{2}$
sehingga :

$U_{21} = a+ 20b = -\frac{7}{2} + 20 . 3 = -\frac{7}{2} + 60 = 56\frac{1}{2}$
Jadi, nilai suku ke-21 adalah

$56\frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 18

Jumlah 10 suku pertama deret :

${}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Deret aritmetika :

$\, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$U_1 \,$ dan beda

${}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \,$

$U_1 = {}^a \log \frac{1}{x}$

$b = U_2-U_1 = {}^a \log \frac{1}{x^2} - {}^a \log \frac{1}{x} = {}^a \log \left( \frac{1}{x} : \frac{1}{x^2} \right) = {}^a \log \frac{1}{x}$

$\spadesuit \,$ Menentukan jumlah 10 suku pertama

$\begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2}(2. {}^a \log \frac{1}{x} +9. {}^a \log \frac{1}{x} ) \\ & = 5. \left( 11. {}^a \log \frac{1}{x} \right) \\ & = 55. {}^a \log \frac{1}{x} \\ & = 55{}^a \log (x^{-1}) \\ & = 55. (-1). {}^a \log x \\ S_{10} & = -55 {}^a \log x \end{align}$
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah

$-55 {}^a \log x . \heartsuit$

Nomor 19

Kelas A terdiri atas 35 orang murid, sedangkan kelas B terdiri 40 orang murid. Nilai statistika rataa - rata kelas B adalah 5 lebih baik dari nilai rata - rata kelas A. Apabila nilai rata - rata kelas A dan B adalah 57

$\frac{2}{3} \,$ , maka nilai rata - rata kelas A adalah .....

$\clubsuit \,$ Misalkan, rata - rata A adalah

$a \,$ dan rata - rata B adalah

$\, b$
Rata - rata B 5 lebih baik dari A :

$\overline{x}_B = 5 + \overline{x}_A \rightarrow b = 5 + a \, \,$ ...pers(i)
Rata - rata gabungan A dan B

$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 57\frac{2}{3} & = \frac{35a + 40b}{35+40} \\ 35a+40b & = 75 \times \frac{173}{3} \\ 7a + 8b & = 865 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)

$7a + 8b = 865 \rightarrow7a + 8.(5 + a) = 865 \rightarrow a = 55$
Jadi, rata - rata kelas A adalah 55.

$\heartsuit$

Nomor 20

Untuk

$x \,$ dan

$y \,$ yang memenuhi sistem persamaan :

$\left\{ \begin{array}{c} 3^{x-2y+1} = 9^{x-2y} \\ 4^{x-y+2} = 32^{x-2y+1} \end{array} \right.$
Maka nilai

$x.y= ....$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan persamaan

$\begin{align} \text{pers(1) :} \, \, 3^{x-2y+1} & = 9^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3^2)^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3)^{2x-4y} \\ x-2y+1 & = 2x-4y \\ -x+ 2y & = -1 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\begin{align} \text{pers(2) :} \, \, 4^{x-y+2} & = 32^{x-2y+1} \\ (2^2)^{x-y+2} & = (2^5)^{x-2y+1} \\ (2)^{2x-2y+4} & = (2)^{5x-10y+5} \\ 2x-2y+4 & = 5x-10y+5 \\ 3x-8y & = -1 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} -x+ 2y = -1 & \times 3 & -3x+6y = -3 & \\ 3x- 8y = -1 & \times 1 & 3x- 8y = -1 & + \\ \hline & & -2y = -4 \rightarrow y = 2 & \end{array}$
pers(i) :

$-x+ 2y = -1 \rightarrow -x+ 2.2 = -1 \rightarrow x = 5$
sehingga : nilai

$x.y = 5.2 = 10$
Jadi, nilai

$x.y = 10 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 16 sampai 20

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar