Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Jika jumlah

$n$ suku pertama deret aritmetika adalah

$S_n = 2n^2+3n$ , maka beda deretnya adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar

$U_n = S_n - S_{n-1} , \, \, \, U_1 = S_1 , \, \,$ dan

$b = U_2-U_1$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$U_1 \, \,$ dan

$U_2$

$U_1 = S_1 = 2.1^2+3.1 = 2 + 3 = 5$

$S_2 = 2.2^2+3.2 = 8 + 6 = 14$

$U_2=S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9$
sehingga :

$b = U_2-U_1 = 9 - 5 = 4$
Jadi, bedanya adalah 4.

$\heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Konsep :

$S_n = pn^2+qn \rightarrow b = 2p$

$S_n = 2n^2+3n \rightarrow b = 2\times 2 = 4$
Jadi, bedanya adalah 4.

$\heartsuit$

Nomor 17

Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyakknya pertandingan yang terjadi adalah ....

$\clubsuit \,$ Ada 25 pecatur, setiap pemain bermain satu kali dengan yang lainnya, artinya kita memilih 2 orang dari 25 pecatur dengan tidak memperhatikan urutan (pakai kombinasi).
Total pertandingan =

$C_2^{25} = \frac{25!}{(25-2)!.2!} = \frac{25!}{23!.2!} = 300$
Jadi, total pertandingan ada 300.

$\heartsuit$

Nomor 18

Pada deret geometri

$U_1+U_2+...$ , jika

$U_1 = x^{-2} , \, U_5 = x^2$ , dan

$U_9 = 64$ , maka

$U_7 = ....$

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$U_n = ar^{n-1}$

$U_1 = x^{-2} \rightarrow a = x^{-2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$r$

$\begin{align} U_5 & = x^2 \\ ar^4 & = x^2 \\ x^{-2}.r^4 & = x^2 \\ r^4 & = \frac{x^2}{x^{-2}} = x ^ 4 \\ r & = x \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \, \,$ dan

$r$

$\begin{align} U_9 = 64 \rightarrow ar^8 & = 64 \\ x^{-2} . x^8 & = 64 \\ x^{-2+8} & = 64 \\ x^6 & = 2^6 \rightarrow x = 2 \end{align}$
Sehingga :

$a = x^{-2} = 2^{-2} \, \,$ dan

$r = x = 2$

$U_7 = ar^6 = 2^{-2}.2^6 = 2^4 = 16$
Jadi, suku ketujuhnya adalah 16.

$\heartsuit$

Nomor 19

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ solusi persamaan

$3.9^x +9^{1-x} = 28$ , maka

$x_1 + x_2 = ....$

$\clubsuit \,$ Misalkan :

$p = 9^x$

$\begin{align} 3.9^x +9^{1-x} & = 28 \\ 3.9^x +\frac{9^1}{9^x} & = 28 \\ 3p +\frac{9}{p} & = 28 \, \, \, \text{(kali } \, p ) \\ 3p^2 - 28p + 9 & = 0 \\ (3p-1)(p-9) & = 0 \\ p = \frac{1}{3} \rightarrow & \, \, 9^ x = 3^{-1} \rightarrow 3^{2x} = 3^{-1} \rightarrow x_1 = \frac{-1}{2} \\ p = 9 \rightarrow & \, \, 9^x = 9 \rightarrow x_2 = 1 \end{align}$
sehingga :

$x_1 + x_2 = \frac{-1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai

$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 20

Jika

$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right)$ dan

$B=\left( \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right)$ , maka jumlah kuadrat semua akar persamaan det A = det B adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar

$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{det} \, A = a.d-b.c$

$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} ,\, \, \text{dan} \, \, x_1.x_2 = \frac{c}{a}$

$\spadesuit \,$ Menentukan determinan

$\begin{align} \text{det} \, A & = \text{det} \, B \\ \left| \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right| \\ ax-b^2 & = bx^2-ab \\ bx^2 - ax + b^2 - ab & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{a}{b} \\ x_1.x_2 & = \frac{b^2-ab}{b} = b-a \end{align}$

$\spadesuit \,$ Jumlah kuadratnya

$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) \\ & = \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a) \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah

$\left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a). \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 16 sampai 20

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar