Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 1 sampai 5

Nomor 1

Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah ...

$\clubsuit \,$ Agar berjenis kelamin sama tidak berdampingan, maka susunan yang mungkin:

pada posisi pertama ada 4 pilihan wanita
pada posisi ketiga ada 3 pilihan wanita
pada posisi kelima ada 2 pilihan wanita
pada posisi ketujuh ada 1 pilihan wanita
pada posisi kedua ada 3 pilihan pria
pada posisi keempat ada 2 pilihan pria
pada posisi keenam ada 1 pilihan pria
dengan banyak cara :

$= 4.3.3.2.2.1.1 = 144 \, \,$ cara.
Jadi, total cara ada 144 susunan.

$\heartsuit$

Nomor 2

Untuk setiap bilangan asli

$n$ didefinisikan matriks

$A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right)$ Jika

$\text{det}(A_1+A_2+...+A_k)=-4050$ , maka

$\text{det}(A_{2k})=...$

$A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right) \,$ , Misalkan :

$p=1+2+3+...+k$

$\begin{align*} A_1+A_2+...+A_k&= \left( \begin{matrix} 1 & 2.1 \\ 3.1 & 4.1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 & 2.2 \\ 3.2 & 4.2 \end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} k & 2.k \\ 3.k & 4.k \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} (1+2+...+k) & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right) \\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=\text{det}\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right)=4p^2-6p^2=-2p^2\\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=-4050\\ -2p^2&=-4050\\ p&=45 \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$k$ :

$p=45 \,$ dan

$S_n=\frac{n}{2}\left( u_1+u_n \right)$

$\begin{align*} p&=45 \\ 1+2+3+...+k &= 45\\ \frac{k}{2}\left( 1+k \right)&=45\\ k^2+k-9&=0\\ (k-9)(k+10)&=0\\ k=9 \, &\text{atau} \, k=-10\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x&=9 \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\text{det}(A_{2k})$ :

$A_{2k}=A_{2.9}=A_18=\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)$

$\text{det}(A_{2k})=\text{det}(A_{18})=\text{det}\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)=-648$
Jadi determinan matriks

$A_{2k}$ adalah -648 .

$\heartsuit$

Nomor 3

Diketahui persamaan

$x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar positif

$x_1$ dan

$x_2$ . Jika

$x_1$ ,

$6$ ,

$x_2$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$14$ tiga suku pertama barisan aritmatika, maka

$p+q=...$

$x^2+px+q=0 \,$ memiliki akar-akar positif

$x_1$ dan

$x_2$

$x_1+x_2=\frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-p}{1}=-p \,$ pers(i)

$x_1.x_2=\frac{c}{a} \Rightarrow x_1.x_2=\frac{q}{1}=q \,$ pers(ii)

$\clubsuit \, x_1 , 6, x_2 \,$ barisan geometri (rasionya sama) :

$\frac{6}{x_1}=\frac{x_2}{6} \Leftrightarrow x_1.x_2=36 \, \text{pers (iii)} \Leftrightarrow q=36$

$\clubsuit \, x_1 , x_2 , 14 \,$ barisan aritmatika (bedanya sama) :

$x_2-x_1=14-x_2 \Leftrightarrow x_1=2x_2-14 \, \text{pers (iv)}$

$\clubsuit \,$ Substitusikan pers(iv) ke pers(iii) :

$\begin{align*} x_1.x_2&=36 \\ (2x_2-14)x_2&=36 \\ x_2^2-7x_2-18&=0\\ (x_2-9)(x_2+2)&=0\\ x_2=9 \, &\text{atau} \, x_2=-2\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x_2&=9 \end{align*}$
pers(iv) :

$x_1=2x_2-14 \Leftrightarrow x_1=2.9-14 \Leftrightarrow x_1=4$
pers(i) :

$x_1+x_2=-p \Leftrightarrow 4 + 9 =-p \Leftrightarrow p=-13$
Jadi, nilai

$p+q=-13+36=23 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$f(x)=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)$ dan

$f^\prime (x)=2cos3x + g(x)$ maka

$g(x)=...$

$\spadesuit \,$ Rumus perkalian:

$sinxcosy=\frac{1}{2}(sin(x+y)+sin(x-y)) , cosxsiny=\frac{1}{2}(sin(x+y)-sin(x-y)), \\ sinxsiny=-\frac{1}{2}(cos(x+y)-cos(x-y)) , cosxcosy=\frac{1}{2}(cos(x+y)+cos(x-y))$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan fungsi

$f(x)$ :

$\begin{align*} f(x)&=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)\\ &=cos2xsinx+sin2xsinx+cos2xcosx+sin2xcox \\ &=\frac{1}{2}(sin3x-sinx) -\frac{1}{2}(cos3x-cosx)\\ &\, +\frac{1}{2}(cos3x+cosx)+\frac{1}{2}(sin3x+sinx)\\ f(x)&=sin3x+cosx\\ f^\prime (x)&=3cos3x-sinx \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi

$g(x)$ :

$\begin{align*} f^\prime (x)&=2cos3x + g(x)\\ g(x)&=f^\prime (x)-2cos3x\\ g(x)&=(3cos3x-sinx)-2cos3x\\ g(x)&=cos3x-sinx \end{align*}$
Jadi, Nilai

$g(x)=cos3x-sinx \, \heartsuit$

Nomor 5

Diketahui

$D_1$ adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola

$y=\frac{9}{4}x^2$ , parabola

$y=x^2$ , dan garis

$x=2$ , dan

$D_2$ daerah yang dibatasi oleh garis

$x=2$ , garis

$y=9$ , dan parabola

$y=x^2$ . Jika luas

$D_1=a$ , maka luas

$D_2$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Luas

$D_1$ :

$(L_{D_1} = a)$

$\begin{align*} L_{D_1} &= \int_0^2\left( \frac{9}{4}x^2 - x^2 \right) \\ &= \int_0^2\left( \frac{5}{4}x^2 \right) =\frac{10}{3} \\ L_{D_1} &= a \Leftrightarrow a = \frac{10}{3}\\ \end{align*}$