Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Penyelesaian pertidaksamaan

${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Definisi harga mutlak :

$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x \, , & \text{untuk} \, x\geq 0 \\ -x \, , & \text{untuk} \, x<0 \end{array} \right.$

$\spadesuit \, {}^{f(x)}log [g(x)]=h(x) \,$ syarat logaritma :

$f(x)>0, f(x)\neq 1, g(x)>0$

$\spadesuit \,$ Untuk

$x \geq 0 \,$ maka

$|x|=x:$

${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:

$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1$

$1-x > 0 \Rightarrow x<1 \, \text{...HP}_2$

$1-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 \, \text{...HP}_3$
untuk

$0 < x < 1$ , maka

$0<1-x<1 \,$ sehingga tanda pertidaksamaan dibalik :

$\begin{align*} {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< 1 \\ {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< {}^{\left(1-x\right)} log\left(1-x\right) \\ (3x-1) &> (1-x) \\ x&>\frac{1}{2} \, \text{...HP}_4 \end{align*}$
sehingga :

$\text{HP}_A = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \cap \text{HP}_3 \cap \text{HP}_4 = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \}$

$\spadesuit \,$ Untuk

$x < 0 \,$ maka

$|x|=-x:$

${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1+x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:

$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1$
Dari

$\text{HP}_1 = \{x > \frac{1}{3} \} \,$ dan untuk

$x < 0 \, ,$ maka kasus ini tidak ada nilai

$x$ yang memenuhi.
Sehingga solusi yang terpenuhi hanya dari kasus pertama untuk

$x \geq 0$ yaitu

$\text{HP}_A$ .
Jadi, Solusinya :

$\text{HP}=\text{HP}_A = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \} . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis

$x=-2$ , dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis

$4x+y=4$ . Titik puncak parabola tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan persamaan fungsinya ,

$y=f(x)=ax^2+bx+c$ . Dengan titik puncak

$(x_p,y_p) \, \,$ :

$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan

$y_p=f(x_p)$ , serta

$f^\prime(x)=2ax+b$ .

$\clubsuit \,$ Sumbu simetrinya

$x=-2 \,$ dengan

$x=x_p$ :

$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:

$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=ax^2+bx+1$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung sejajar dengan garis

$4x+y=4$ , artinya gradiennya sama dengan gradien garis

$4x+y=4\,$ yaitu

$m=-4$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):

$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) :

$b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=-x^2-4x+1$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak:

$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$ .
Jadi, titik puncaknya adalah

$(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$

Nomor 8

Agar 1,

$k^2$ , dan

$-2k^2\sqrt{2}$ masing-masing merupakan suku ke 3, suku ke 5, dan suku ke 8 suatu barisan geometri, maka rasio barisan tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$u_n=ar^{n-1}$

$u_5=k^2 \Rightarrow ar^4=k^2 \, \, \text{...pers(i)}$

$u_8=-2k^2 \sqrt{2} \Rightarrow ar^7=-2k^2 \sqrt{2} \, \, \text{...pers(ii)}$

$\spadesuit \,$ Bagi pers(ii) dengan pers(i):

$\begin{align*} \frac{ar^7}{ar^4}&=\frac{-2k^2 \sqrt{2}}{k^2} \\ r^3&=-2\sqrt{2} \\ r^3&=-(2)^{\frac{3}{2}} \\ r&=-(2)^{\frac{1}{2}} \\ r&=-\sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, rasionya adalah

$r=-\sqrt{2}.\heartsuit$

Nomor 9

Vektor-vektor

$u , v, \,$ dan

$w$ tak nol dan

$|u|=|v|$ . Jika

$|v-w|=|u-w|$ , maka ...

$\clubsuit \,$ Rumus dasar :

$|p-q|^2=|p|^2+|q|^2-2pq \,$ dan jika

$p.q=0$ maka

$p$ tegak lurus

$q$ .

$\clubsuit \,$ Kuadratkan bentuk

$|v-w|=|u-w|$

$\begin{align*} |u-w|&=|v-w| \\ |u-w|^2&=|v-w|^2 \\ |u|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \, \, \, ( \text{substitusi} \, |u|=|v|)\\ |v|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \\ -2uw &= -2vw \\ uw &= vw \\ uw-vw&=0 \\ (u-v)w&=0 \end{align*}$
Artinya vektor

$(u-v)$ tegak lurus dengan vektor

$w$ .
Jadi, vektor

$(u-v)$ tegak lurus dengan vektor

$w. \heartsuit$

Nomor 10

Jika

$f(x)=1+sinx+sin^2x+sin^3x+..., \, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ , maka

$\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = ...$

$\spadesuit \,$ Deret geometri tak hingga :

$s_\infty = \frac{a}{1-r}$
Deret

$1+sinx+sin^2x+sin^3x+...$ mempunyai

$a=1,$
dan

$r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{sinx}{1}=sinx$

$s_\infty = \frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-sinx}$ sehingga

$f(x)=\frac{1}{1-sinx}$

$\spadesuit \,$ Rumus dasar :

$sin^2x+cos^2x=1, tanx = \frac{sinx}{cosx}, secx=\frac{1}{cosx}$

$\spadesuit \,$ Mengalikan

$f(x)$ dengan

$1+sinx$ agar mudah diintegralkan:

$\begin{align*} f(x)&= \frac{1}{1-sinx} . \frac{1+sinx}{1+sinx} \\ &= \frac{1+sinx}{1-sin^2x} \\ &= \frac{1+sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cosx}.\frac{1}{cosx} \\ f(x)&= sec^2x+tanxsecx \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menghitung nilai integralnya:

$\begin{align*} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx &= \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} (sec^2x+tanxsecx) dx \\ &= \left[ tanx + secx \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= (tan45^o+sex45^o)-(tan0^o+sec0^o) \\ &= (1+\sqrt{2})-(0+1) \\ &= \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai