Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diberikan limas

$T.ABC$ . Misalkan

$u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$ . Jika

$P$ titik berat

$\Delta ABC$ , maka

$\vec{TP}=...$

$\spadesuit \,$ Titik P adalah titik berat, sehingga:

$\vec{AP}=\frac{2}{3}\vec{AD} \,$ dan

$\vec{BD} : \vec{DC} = 1 : 1$

$\spadesuit \,$ Menentukan vektor

$\vec{TD}$ dari gambar berikut:

$\vec{TD}=\frac{1.\vec{v}+1.\vec{w}}{1+1} = \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan vektor

$\vec{AD}$ dan

$\vec{AP}$ :

$\begin{align*} \vec{AD}&=\vec{AT}+\vec{TD} \\ &=-\vec{u}+ \left( \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} \right) \\ \vec{AD}&= \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}\vec{AD} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}.\left( \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \right) \\ \vec{AP}&=\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan vektor

$\vec{TP}$ :

$\begin{align*} \vec{TP}&=\vec{TA}+\vec{AP} \\ &=\vec{u}+ \frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \\ &=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \end{align*}$
Jadi,

$\vec{TP}=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}). \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis

$x=-2$ , dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis

$4x+y=4$ . Titik puncak parabola tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan persamaan fungsinya ,

$y=f(x)=ax^2+bx+c$ . Dengan titik puncak

$(x_p,y_p) \, \,$ :

$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan

$y_p=f(x_p)$ , serta

$f^\prime(x)=2ax+b$ .

$\clubsuit \,$ Sumbu simetrinya

$x=-2 \,$ dengan

$x=x_p$ :

$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:

$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=ax^2+bx+1$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung sejajar dengan garis

$4x+y=4$ , artinya gradiennya sama dengan gradien garis

$4x+y=4\,$ yaitu

$m=-4$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):

$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) :

$b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=-x^2-4x+1$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak:

$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$ .
Jadi, titik puncaknya adalah

$(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$

Nomor 8

Semua nilai

$a$ sehingga

$f(x)=log(4^x+a.2^x+a+3)$ selalu bernilai real adalah ...

$\spadesuit \,$ Syarat kogaritma :

${}^{a}log{b} \,$ syaratnya

$a>0, a\neq 1, b>0$ .

$\spadesuit \,$ Bentuk

$ax^2+bx+c>0$ adalah definit positif, syaratnya :

$a>0\,$ dan

$D<0$ .

$\spadesuit \, \, f(x)=log(4^x+a.2^x+a+3) \,$ syaratnya ;

$4^x+a.2^x+a+3>0 \Leftrightarrow (2^x)^2+a.2^x+(a+3)>0$

$\Leftrightarrow (p)^2+ap+(a+3)>0 \, \, \,$ dengan

$\, p=2^x>0$

$\spadesuit \,$ Bentuk

$(p)^2+ap+(a+3)>0 \,$ termasuk definit positif dengan

$a=1,b=a,c=a+3 \, ,$ syaratnya:

$\begin{align*} a&=1>0 \, \, \text{(benar)}\\ D&<0 \Leftrightarrow b^2-4ac<0 \\ a^2-4.1.(a+3)&<0 \\ a^2-4a-12&<0 \\ (a+2)(a-6)&<0 \\ a=-2 \, & \text{atau} \, a=6 \end{align*}$

$\text{HP}_1=\{ -2< a < 6 \}$

$\spadesuit \,$ Nilai

$p=2^x \,$ selalu positif , sehingga untuk

$a$ positif maka nilai

$(p)^2+ap+(a+3) \, \,$ juga positif .

$\text{HP}_2=\{ a \geq 0 \}$
Jadi,

$\text{HP}=\text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 = \{ a > -2 \}. \heartsuit$

Nomor 9

Misalkan diberikan titik A(1, 0) dan B(0, 1) . Jika P bersifat

$|\vec{PA}|:|\vec{PB}|=\sqrt{m}:\sqrt{n}$ , maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan ...

$\clubsuit \,$ Misalkan titik

$P(x,y)$ , panjang

$\vec{PA}$ dan

$\vec{PB}$ :

$|\vec{PA}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$

$|\vec{PB}|=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$

$\clubsuit \,$ Kuadratkan bentuk

$|\vec{PA}|:|\vec{PB}|=\sqrt{m}:\sqrt{n}$

$\begin{align*} |\vec{PA}|:|\vec{PB}|&=\sqrt{m}:\sqrt{n} \\ \left( \frac{|\vec{PA}|}{|\vec{PB}|} \right)^2 &=\left( \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} \right)^2 \\ \left( \frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \right)^2 &=\left( \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} \right)^2 \\ \left( \frac{(x-1)^2+y^2}{x^2+(y-1)^2} \right) &=\left( \frac{m}{n} \right) \\ n[x^2+y^2+1-2x]&=m[x^2+y^2+1-2y] \\ n(x^2+y^2+1)-n.2x&=m(x^2+y^2+1)-m.2y \\ n(x^2+y^2+1)-m(x^2+y^2+1)&=2nx-2my \\ (n-m)(x^2+y^2+1)&=2(nx-my) \end{align*}$
Jadi, persamaan lingkarannya:

$(n-m)(x^2+y^2+1)=2(nx-my) \, \heartsuit$

Nomor 10

Diketahui

$a , a+b$ , dan

$a+5b$ merupakan 3 suku pertama suatu barisan geometri. Jika

$a, a+b, x, y$ , dan

$z$ merupakan 5 suku pertama suatu barisan aritmetika dan

$x+y+z=-15$ , maka suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Barisan geometri (rasio sama):

$a, a+b, a+5b$

$\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2} \Leftrightarrow (u_2)^2=u_1.u_3 \Leftrightarrow (a+b)^2=a.(a+5b)$

$\Leftrightarrow b^2-3ab=0 \Leftrightarrow b(b-3a)=0$

$\Leftrightarrow b=0 \, \text{(tidak memenuhi)} \, \text{atau} \, b=3a \, \text{...pers(i)} \, \text{(memenuhi)}$

$\spadesuit \,$ Barisan aritmetika (beda/selisih sama):

$a, a+b, x, y$ , dan

$z$

$y-x=z-y \Leftrightarrow x+z=2y \, \, \text{...pers(ii)}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(ii) ke

$x+y+z=-15$

$x+y+z=-15 \Leftrightarrow (x+z)+y=-15 \Leftrightarrow 2y+y=-15 \Leftrightarrow y=-5$

$\spadesuit \, y \,$ adalah suku ke-4 pada barisan aritmatika, sehingga

$u_4=-5$

$u_4=-5 \Leftrightarrow a+3b=-5 \Leftrightarrow a+3(3a)=-5 \Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}$
Pers(i) :

$b=3a \Leftrightarrow b=3.-\frac{1}{2} \Leftrightarrow b=-\frac{3}{2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$u_{10} \,$ pada barisan aritmatika :

$\begin{align*} u_{10}&=a+9b \\ &=-\frac{1}{2} + 9. \left( -\frac{3}{2} \right) \\ u_{10}&= -\frac{28}{2} = -14 \end{align*}$
Jadi, suku ke-10 :

$u_{10}=-14. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

1 komentar:

uji coba18 Oktober 2019 pukul 12.59
kok sulit to mas ,bikin yang sederhana bisa nggak ?
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

1 komentar: