Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Persamaan kuadrat

$2x^2-px+1=0$ dengan

$p>0$ , mempunyai akar-akar

$\alpha$ dan

$\beta$ . Jika

$x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar

$\frac{1}{\alpha^2}$ dan

$\frac{1}{\beta^2}$ , maka

$q-p=...$

$\spadesuit \,$ pk1

$2x^2-px+1=0$ mempunyai akar-akar

$\alpha$ dan

$\beta$ :

$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}=\frac{p}{2}$ dan

$\alpha . \beta = \frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

$\spadesuit \,$ pk2

$x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar

$x_1=\frac{1}{\alpha^2}$ dan

$x_2=\frac{1}{\beta^2}$ :

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{5}{1}$ dan

$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$

$\spadesuit \,$ menentukan nilai

$p$ dan

$q$ dari pk2 dan pk1

$\begin{align*} x_1.x_2&= \frac{1}{\alpha^2} . \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow q=\frac{1}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow q=\frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \Rightarrow q=4 \\ x_1+x_2&= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow 5 = \frac{(\alpha + \beta )^2- 2\alpha \beta}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow 5 = \frac{\left( \frac{p}{2} \right)^2- 2.\frac{1}{2}}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \\ &\Rightarrow 5=p^2-4 \Rightarrow p=\pm 3 \end{align*}$
Karena

$p>0$ , maka nilai

$p=3$ yang memenuhi , sehingga

$q-p=4-3=1$ .
Jadi, nilai

$q-p=1. \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui

$f(0)=1$ dan

$f^\prime (0)=2$ . Jika

$g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}$ , maka

$g^\prime (0)=...$

$\clubsuit \,$ Menurunkan fungsi

$g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}=(2f(x)-1)^{-3}$

$\begin{align*} g(x)&=(2f(x)-1)^{-3} \\ g^\prime(x)&=-3.(2f(x)-1)^{-4}.2f^\prime(x) \\ g^\prime(x)&=\frac{-6f^\prime(x)}{(2f(x)-1)^4} \\ g^\prime(0)&=\frac{-6f^\prime(0)}{(2f(0)-1)^4} =\frac{-6.2}{(2.1-1)^4}=\frac{-12}{1^4} =-12 \end{align*}$
Jadi nilai

$g^\prime(0) = -12 . \heartsuit$

Nomor 8

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ adalah penyelesaian persamaan

$\left( {}^{2}logx \right)^2 + {}^{2}logx=6$ , maka

$x_1x_2=...$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p={}^{2}log \, x$

$\begin{align*} \left( {}^{2}log \, x \right)^2 + {}^{2}log\, x &=6 \\ p^2+p&=6 \\ p^2+p-6 &= 0 \\ (p-2)(p+3) &= 0 \\ p=2 \, & \text{atau} \, p=-3 \end{align*}$

$p=2 \Rightarrow {}^{2}log \, x = 2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x_1=4$

$p=-3 \Rightarrow {}^{2}log \, x = -3 \Rightarrow x=2^{-3} \Rightarrow x_2=\frac{1}{8}$
sehingga ,

$x_1.x_2=4.\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$
Jadi,

$x_1.x_2= \frac{1}{2}. \heartsuit$

Nomor 9

Diketahui matriks

$A=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & x \end{matrix} \right)$ . Jika

$|A|$ menyatakan determinan

$A$ , maka deret geometri

$|A|+|A|^2+|A|^3+...$ konvergen ke ...

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan A :

$|A|=\frac{1}{2}x-\left( -\frac{1}{2} \right).\left( -\frac{1}{2} \right) \Rightarrow |A|=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.$

$\clubsuit \,$ Deret geometri tak hingga :

$s_\infty = \frac{a}{1-r} \,$ dengan

$-1 < r < 1$

$\clubsuit \,$ Deret

$|A|+|A|^2+|A|^3+...$ memiliki

$a=|A|$ dan

$r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{|A|^2}{|A|}=|A|$

$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah

$|A|+|A|^2+|A|^3+...$

$\begin{align*} |A|+|A|^2+|A|^3+...&=s_\infty \\ &= \frac{a}{1-r} = \frac{|A|}{1-|A|} \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } . \frac{4}{4} \\ &= \frac{2x-1}{4-2x+1}=\frac{2x-1}{5-2x} = -\frac{2x-1}{2x-5} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Menentukan syarat rasio :

$-1 < r < 1$

$\begin{align*} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -1 < & r < 1 \\ -1 < | &A| < 1 \\ -1 < \frac{1}{2}x & -\frac{1}{4} < 1 \, \, \text{(kali 4)}\\ -4 < 2x & - 1 < 4 \, \, \text{(ditambah 1)} \\ -3 < 2 & x < 5 \, \, \text{(dibagi 2)} \\ -\frac{3}{2} < & x < \frac{5}{2} \end{align*}$
Jadi,

$|A|+|A|^2+|A|^3+...=-\frac{2x-1}{2x-5} \, \, \,$ dengan

$-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}. \heartsuit$

Nomor 10

Jika titik

$(x,y)$ memenuhi

$x^2\leq y \leq x+6$ , maka nilai maksimum

$x+y$ adalah ...

$\spadesuit \, x^2\leq y \leq x+6$ dapat dipecah menjadi

$y \leq x+6 \,$ dan

$\, y \geq x^2$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong kedua kurva :

$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ x^2 & = x+6 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x+2)(x-3)&=0 \\ x=-2 \, &\text{atau} \, x=3 \\ x=-2 \, &\Rightarrow y=(-2)^2=4 , \, \text{titiknya:} \, (-2,4) \\ x=3 \, &\Rightarrow y=(3)^2=9 , \, \text{titiknya:} \, (3,9) \end{align*}$