Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 179 tahun 2011 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika

$\overline{p} \,$ adalah negasi dari

$p$ , maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan :

$p \Rightarrow \overline{q} \,$ dan

$\, q \vee \overline{r}$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Silogisme : (sisi yang bersilangan sama dan bisa dicoret)

$\begin{array}{c} A \Rightarrow B \\ B \Rightarrow C \\ \hline \therefore \, A \Rightarrow C \end{array}$

$\spadesuit \,$ Mengubah implikasi (

$\Rightarrow$ ) menjadi disjungsi (

$\vee$ ) atau sebaliknya.
Caranya adalah : yang depan dikasih ingkaran/negasi , yang belakang tetap.

$\, q \vee \overline{r} \,$ setara dengan

$\, \overline{q} \Rightarrow \overline{r}$

$\spadesuit \,$ Menarik kesimpulan :

$\begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ q \vee \overline{r} \\ \hline \therefore \end{array} \,$ atau setara dengan

$\, \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ \overline{q} \Rightarrow \overline{r} \\ \hline \therefore \, p \Rightarrow \overline{r} \end{array}$
Sehingga kesimpulannya :

$p \Rightarrow \overline{r} \,$ atau setara dengan

$\, \overline{p} \, \vee \, \overline{r}$
Jadi, kesimpulannya adalah

$\overline{p} \, \vee \, \overline{r} . \heartsuit$

Nomor 12

Karyawan pada suatu perusahaan dibedakan menjadi tiga golongan. Karyawan golongan A akan memperoleh gaji per bulan sebesar sepertiga dari gaji karyawan golongan B, sedangkan karyawan golongan C dibayar per bulan sebesar setengah dari gaji karyawan golongan B. Penghasilan karyawan golongan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan A selama ...

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan yang terbentuk :

$A = \frac{1}{3} B \,$ dan

$\, C = \frac{1}{2} B$ .

$\clubsuit \,$ Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama

$n$ bulan. Persamaannya :

$4C = n A$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$n$ dari persamaan yang diketahui :

$\begin{align} 4C & = n A \\ 4.\frac{1}{2} B & = n. \frac{1}{3} B \\ 2B & = \frac{n}{3} B \\ n & = 6 \end{align}$
Jadi, Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama 6 bulan.

$\heartsuit$

Nomor 13

Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Barisan aritmatika dengan beda 16 :
misalkan :

$a, \, a+16 , \,$ dan

$\, a+32$

$\spadesuit \,$ bilangan yang terkecil ditambah 7, bilangan yang terbesar ditambah 2 , membentuk barisan geometri :

$a+7, \, a+16 , \,$ dan

$\, a+32 + 2$
Rasio sama :

$\begin{align} \frac{a+16}{a+7} & = \frac{a+34}{a+16} \\ (a+16)(a+16) & = (a+7)(a+34) \\ a^2 + 32a + 256 & = a^2 + 41a + 238 \\ 41a - 32 a & = 256 - 238 \\ 9a &= 18 \\ a & = \frac{18}{9} = 2 \end{align}$
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :

$a + (a+16) + (a+32) = 2 + (2+16)+(2+32) = 54$
Jadi, jumlahnya adalah 54.

$\heartsuit$

Nomor 14

Jika

$A$ adalah matriks 2

$\times$ 2 yang memenuhi

$A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \,$ dan

$\, A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right)$ , maka hasil kali

$\, A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right)$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan : matriks A =

$\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$

$\clubsuit \,$ Menentukan matriks A :

$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ 2a+b & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2c+d & = 0 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$ dan

$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ 4a+6b & = 0 \, \, \text{...pers(iii)} \\ 4c+6d & = 2 \, \, \text{...pers(iv)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(iii), diperoleh :

$a=\frac{3}{4} , \, b = - \frac{1}{2}$

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv), diperoleh :

$c= - \frac{1}{4} , \, d = \frac{1}{2}$
Sehingga matriks A =

$\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya :

$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, hasil

$A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Cara II

$\clubsuit \,$ tidak perlu menentukan matriks A, akan tetapi langsung memodifikasi yang diketahui.
Persamaan I :

$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 2)} \\ 2.A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2.\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(i)} \end{align}$
Persamaan II :

$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 1/2)} \\ \frac{1}{2}.A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2}.\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(ii)} \end{align}$
Sehingga dari pers(i) dan pers(ii) :

$A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left[ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$
Jadi, hasil

$A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor 15

Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4, maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah ...

$\spadesuit \,$ Rumus dasar aritmetika :

$U_n = a + (n-1)b \,$ dan

$\, S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$

$\spadesuit \,$ Jumlah 10 suku pertama adalah 220

$S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10-1)b) \Rightarrow 220 = 5(2a+9b)$

$\Rightarrow 2a+9b=44 \,$ ...pers(i)

$\spadesuit \,$ Jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4

$U_{11}+U_{12} = -4 \Rightarrow (a+10b) + (a+11b) = -4$

$\Rightarrow 2a + 21b = -4 \,$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$\begin{array}{cc} 2a + 21b = -4 & \\ 2a+9b=44 & - \\ \hline 12b = -48 \rightarrow b=-4 & \end{array}$
Pers(i) :

$2a+9b=44 \Rightarrow 2a+ 9.(-4) = 44 \Rightarrow a = 40$

$\spadesuit \,$ Jumlah 2 suku pertama :

$S_2 = \frac{2}{2} (2a + (2-1)b) \Rightarrow S_2 = (2.40 + (-4)) = 76$
Jadi, jumlah 2 suku pertama deret itu adalah 76.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu