Cara 2 Pembahasan Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = .... $
A). $ x^2\sqrt{x-1} + c \, $
B). $ x\sqrt{x-1} + c \, $
C). $ x^3\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + c \, $
D). $ x^3\sqrt{x-1} + c \, $
E). $ x^3\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1} + c $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Integral adalah anti turunan (kebalikan dari turunan).
*). Turunan dari fungsi $ y = f(x).g(x) $ adalah $ y^\prime = f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x) $
sehingga $ \int y^\prime dx = y + c $ atau $ \int (f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x)) dx = f(x).g(x) + c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan soalnya : $ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $
dimana bisa kita misalkan :
$ f(x) = x^3 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 $
$ g(x) = \sqrt{x-1} \rightarrow g^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} $
*). Bentuk soal dapat diubah menjadi :
$ \begin{align} \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx & = \int x^3.\frac{1}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 . \sqrt{x-1} \, dx \\ & = \int 3x^2 . \sqrt{x-1} + x^3.\frac{1}{2\sqrt{x-1}} \, dx \\ & = \int ( f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x) ) \, dx \\ & = f(x).g(x) + c \\ & = x^3 . \sqrt{x-1} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ x^3\sqrt{x-1} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = .... $
A). $ x^2\sqrt{x-1} + c \, $
B). $ x\sqrt{x-1} + c \, $
C). $ x^3\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + c \, $
D). $ x^3\sqrt{x-1} + c \, $
E). $ x^3\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1} + c $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara menyelesaikan integral yaitu bisa menggunakan teknik parsial atau tanzalin. Untuk penjelasan teknik integral parsial, silahkan baca artikelnya pada link "Teknik integral parsial".
*). RUmus dasar integral :
$ \int (x + b)^n dx = \frac{1}{n + 1} (x + b)^{n+1} + c $
*). Sifat integral :
$ \int (f(x) + g(x) ) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan dalam pengintegralan, kita pecah integralnya menjadi dua berdasarkan sifat integral :
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx + \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $
*). Menentukan integral $ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx = \int (\frac{1}{2}x^3).(x-1)^{-\frac{1}{2}} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, \frac{1}{2}x^3 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{-\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, \frac{3}{2}x^2 \, \, \, & | \, \, \, 2(x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} dx & = \frac{1}{2}x^3 .2(x-1)^{\frac{1}{2}} + (-\frac{3}{2}x^2).\frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ & \, \, + 3x.\frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +(-3). \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Menentukan integral $ \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x^2 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, 6x \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (+) \, \, 6 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x^2 \sqrt{x-1}\, dx & = 3x^2.\frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + (-6x).\frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +6. \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Hasil akhir integralnya adalah penjumlahan dari keduanya :
$ \begin{align} & \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx \\ & = \left(x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & \, \, + \left(2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} = x^3\sqrt{x-1} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ x^3\sqrt{x-1} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Luasan UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran atas $ x^2 + y^2 = 4 $ dan parabola $ y = x^2 - 4 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ 2\pi + 10\frac{2}{3} \, $ B). $ 2\pi + 9\frac{2}{3} \, $
C). $ 2\pi + 8\frac{2}{3} \, $ D). $ 2\pi + 7\frac{2}{3} \, $
E). $ 2\pi + 6\frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yang ada di bawah sumbu X :
Luas $ = -\int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Luas daerah arsiran diatas adalah daerah yang mau kita hitung luasnya yang kita bagi menjadi dua yaitu daerah pertama di atas sumbu X berupa setengah lingkaran dan daerah kedua di bawah sumbu X yang dibatasi oleh parabola.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ memiliki jari-jari $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $ ,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .2^2 = 4\pi $
-). Luas daerah I $ = \frac{1}{2} \, $ luas lingkaran $ = \frac{1}{2}. 4\pi = 2\pi $
-). Luas daerah II : dibatasai oleh kurva $ y = x^2 - 4 $ dari $ -2 \leq x \leq 2 $
$ \begin{align} \text{Luas II } & = - \int \limits_{-2}^2 (x^2 - 4) dx \\ & = - [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^2 \\ & = -([\frac{1}{3}.2^3 - 4.2]- [\frac{1}{3}.(-2)^3 - 4.(-2)]) \\ & = -(\frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 ) \\ & = -(\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - \frac{24}{3} ) \\ & = -(- \frac{32}{3} ) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas total :
Luas total = Luas I + Luas II = $ 2\pi + 10\frac{2}{3} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\pi + 10\frac{2}{3} . \, \heartsuit $