Pembahasan Deret Aritmetika UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650. Dari bilangan-blangan genap tersebut, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah ....
A). $ 168 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 182 \, $ D). $ 190 \, $ E). $ 196 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) $
*). Bilangan positif genap adalah contoh barisan aritmetika dengan beda 2.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650 :
artinya $ a = 2 $ dan $ b = 2 $
*). Menentukan nilai $ n $ (banyak sukunya) :
$ \begin{align} S_n & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2.2 + (n-1).2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 4 + 2n - 2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2n + 2) & = 650 \\ n( n + 1) & = 650 \\ n^2 + n - 650 & = 0 \\ (n+26)(n-25) & = 0 \\ n = -26 \vee n & = 25 \end{align} $
Karena banyak suku selalu positif, maka $ n = 25 $ yang memenuhi.
*). Untuk mengetahui 7 suku tengah diantara 25 suku yang ada, kita bagi 25 suku menjadi tiga bagian yaitu 9 suku, 7 suku, dan 9 suku, sehingga total sukunya $ 9 + 7 + 9 = 25 \, $ suku. Ini artinya, 7 suku yang ditengah dimulai dari suku ke 10 barisan bilangan genap positif yaitu :
$ U_{10} = a + 9b = 2 + 9.2 = 20 $
Sehingga 7 suku tengahnya yaitu :
20, 22, 24, 26, 28, 30, 32
*). Menentukan jumlah 7 suku tengahnya :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) \\ S_7 & = \frac{7}{2} ( 2.20 + 6.2) \\ & = \frac{7}{2} (52) \\ & = 7 . 26 = 182 \end{align} $
Jadi, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah 182 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v} $ dan $ \vec{u} + \vec{v} $ berturut-turut adalah 15, 7, 13 satuan panjang. Besar sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus panjang penjumlahan dua vektor :
$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}|.|\vec{v}| \cos \theta $
dengan $ \theta $ adalah sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ |\vec{u}| =15 , |\vec{v}|=7 $ dan $ |\vec{u} + \vec{v}| = 13 $
*). Menentukan sudut kedua vektor :
$ \begin{align} |\vec{u} + \vec{v}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}|.|\vec{v}| \cos \theta \\ 13^2 & = 15^2 + 7^2 + 2.15.7. \cos \theta \\ 169 & = 225 + 49 + 210 \cos \theta \\ -210\cos \theta & = 225 + 49 - 169 \\ -210 \cos \theta & = 105 \\ \cos \theta & = \frac{105}{-210} \\ \cos \theta & = - \frac{1}{2} \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
-). Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
-). Jari-jari lingkaran : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya :
$ y - b = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ A = 2, B = 0, C = -19 $
-). Titik pusat lingkaran
$ (a,b) = \left( -\frac{2}{2}, -\frac{}{2} \right) = (-1,0) $
-). Jari-jari :
$ r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 - (-19) } = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
*). persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} y - b & = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} \\ y - 0 & = m(x - (-1)) + 2\sqrt{5}\sqrt{m^2 + 1} \\ y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \end{align} $
*). Substitusi titik $ T(1,6) $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = m(1 +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = 2m + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -2m + 6 & = 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -m + 3 & = \sqrt{5m^2 + 5} \\ (-m + 3)^2 & = (\sqrt{5m^2 + 5})^2 \\ m^2 - 6m + 9 & = 5m^2 + 5 \\ 4m^2 + 6m - 4 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \rightarrow \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5((\frac{1}{2} )^2 + 1)} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5(\frac{5}{4} )} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2. \frac{5}{2} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 5 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y & = x +1 + 10 \\ 0 & = x - 2y + 11 \\ m = -2 & \rightarrow \\ y & = -2(x +1) + 2\sqrt{5((-2)^2 + 1)} \\ y & = -2x - 2 + 2\sqrt{25} \\ y & = -2x - 2 + 2.5 \\ y & = -2x - 2 + 10 \\ y & = -2x + 8 \\ 0 & = 2x + y - 8 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dimana titiknya ada di luar lingkaran bisa menggunakan koordinat kutub atau polar.
*). Persamaan garis kutub sama dengan persamaan BAGI ADIL, dengan langkah-langkah :
1). Tentukan persamaan BAGI ADIL,
2). Substitusi titik di luar lingkarannya ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita peroleh persamaan kutub,
3). Substitusi persamaan kutub ke persamaan lingkaran, sehingga kita peroleh titik potong antara garis kutub dan lingkaran dimana kedua titik tersebut adalah titik singgung lingkaran,
4). Substitusi titik singgung lingkaran ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita kiperoleh persamaan garis singgung lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan BAGI ADIL lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + 2.\frac{x_1 + x}{2} - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \end{align} $
*). substitusi titik $ (x_1,y_1) = (1,6) $ ke persamaan BAGI ADIL :
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \\ 1.x + 6y + (1 + x) - 19 & = 0 \\ 2x + 6y - 18 & = 0 \\ x + 3y - 9 & = 0 \\ x & = -3y + 9 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3y + 9 $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ ( -3y + 9)^2 + y^2 + 2( -3y + 9) - 19 & = 0 \\ 10y^2 - 60y + 80 & = 0 \\ y^2 - 6y + 8 & = 0 \\ (y - 2)(y-4) & = 0 \\ y = 2 \vee y & = 4 \end{align} $
Untuk $ y = 2 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.2 + 9 = 3 $
Untuk $ y = 4 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.4 + 9 = -3 $
Sehingga titik singgungnya : $ (3,2) $ dan $ ( -3, 4) $
*). Substitusi titik singgung ke persamaan
BAGI ADIL $ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 = 0 $ :
$ \begin{align} (x_1,y_1) & = (3,2) \rightarrow \\ 3.x + 2.y + (3 + x) - 19 & = 0 \\ 3x + 2y + 3 + x - 19 & = 0 \\ 4x + 2y - 16 & = 0 \\ 2x + y - 8 & = 0 \\ (x_1,y_1) & = (-3,4) \rightarrow \\ -3.x + 4.y + (-3 + x) - 19 & = 0 \\ -2x + 4y - 22 & = 0 \\ -x + 2y - 11 & = 0 \\ x - 2y + 11 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Singgung Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $ :
*). Garis singgung melalui titik $ T (1,6) $, kita substitusi :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 6 & = m.1 + c \\ c & = 6 - m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 6 - m $
*). Substitusi $ y = mx + 6 - m $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + (mx + 6 - m)^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + m^2x^2 + 12mx - 2m^2x + 36 - 12m + m^2 + 2x - 19 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + (-2m^2 + 12m + 2)x + (m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ a = m^2 + 1, b = -2m^2 + 12m + 2 , c = m^2 - 12m & + 17 \end{align} $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2m^2 + 12m + 2)^2 - 4.(m^2 + 1).(m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ 64m^2 + 96m - 64 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi gradien ke garis singgung $ y = mx + 6 - m $ :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \vee m = -2 \\ y = \frac{1}{2}x + 6 - \frac{1}{2} & \vee y = -2x + 6 - (-2) \\ 2y = x + 12 - 1 & \vee y = -2x + 6 + 2 \\ 2y = x + 11 & \vee y = -2x + 8 \\ x - 2y + 11 = 0 & \vee 2x + y - 8 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $