Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p , q , \, $ dan $ r $ membentuk suku-suku deret aritmetika, maka $ p^2 + q^2 + r^2 = .... $
A). $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \, $
B). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{5} \, $
C). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{3} \, $
D). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{2} \, $
E). $ 5p^2 + 2pr + 5r^2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih dua suku berurutan sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ p , q, r $ membentuk barisan aritmetika, selisih dua suku sama :
$ \begin{align} q - p & = r - q \\ 2q & = p + r \\ q & = \frac{p+r}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 + q^2 + r^2 $ :
$ \begin{align} p^2 + q^2 + r^2 & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \frac{(p+r)^2}{2^2} + r^2 \\ & = p^2 + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + r^2 \\ & = \frac{4p^2}{4} + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + \frac{4r^2}{4} \\ & = \frac{4p^2 + p^2 + 2pr + r^2 + 4r^2}{4} \\ & = \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Aplikasi Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua bilangan ganjil di antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
A). $ 750 \, $ B). $ 775 \, $ C). $ 800 \, $ D). $ 825 \, $ E). $ 850 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika :
-). Rumus suku ke-$n $ : $ u_n = a + (n-1)b $
-). Rumus $ S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bilangan ganjil antara 20 dan 60 yaitu :
21, 23, 25, ..., 59
Barisan ini membentuk barisan aritmetika dengan $ a = 21 $ dan $ b = 2 $
*). Menentukan nilai banyak suku dengan suku terakhir 59 :
$ \begin{align} u_n & = 59 \\ a + (n-1)b & = 59 \\ 21 + (n-1)2 & = 59 \\ 21 + 2n - 2 & = 59 \\ 2n + 19 & = 59 \\ 2n & = 40 \\ n & = 20 \end{align} $
Artinya ada 20 suku, sehingga untuk jumlah semuanya = $ S_{20} $
*). Menentukan jumlah semua bilangan :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(a + u_n) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(a + u_{15}) \\ & = \frac{20}{2}(21 + 59) \\ & = 10.(80) = 800 \end{align} $
Jadi, jumlah bilangannya adalah 800 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun Datar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $ 2^{x+2} $. Jika panjang dua sisi lainnya adalah 4 dan $ 2^{2x+1} $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi terletak pada interval ....
A). $ -1 < x < 0 \, $
B). $ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} \, $
C). $ 0 < x < 1 \, $
D). $ \frac{2}{3} < x < 2 \, $
E). $ 1 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras
$ \, \, \, \, \, \, a^2 + b^2 = c^2 $
dengan $ c $ sebagai sisi miringnya.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^{m +n} = a^m . a^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sisi miring $ c = 2^{x+2} $ dan sisi lainnya $ a = 4 , b = 2^{2x+1} $ :
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} .2^2 & = 2^{2x}. 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 .4 & = 2^{2x}. 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 + (2^{2x})^2 & = 2^{2x}. 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } p = 2^{2x} ) \\ 4 + p^2 & = 4p \\ p^2 - 4p + 4 & = 0 \\ (p - 2)^2 & = 0 \\ (p - 2) & = 0 \\ p & = 2 \\ 2^{2x} & = 2 \\ 2^{2x} & = 2^1 \\ 2x & = 1 \\ x & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ x = \frac{1}{2} $ yang ada pada interval $ 0 < x < 1 $.
Jadi, nilai $ x $ ada pada interval $ 0 < x < 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Deret $ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 $ merupakan deret aritmetika dan $ u_1 > u_2 $. Jika determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan $ S_4 = 2 $, maka $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = .... $
A). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Barisan aritmetika :
-). Rumus suku ke-$n $ : $ u_n = a + (n-1)b $
-). Rumus $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
-). Persamaan pertama,
$ \begin{align} S_4 & = 2 \\ \frac{4}{2}(2a + 3b) & = 2 \\ 2(2a + 3b) & = 2 \\ 2a + 3b & = 1 \\ a & = \frac{1-3b}{2} \end{align} $
-). Persamaan kedua, determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan substitusi $ a = \frac{1-3b}{2} $
$ \begin{align} u_1.u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}(\frac{1-3b}{2}+3b) - (\frac{1-3b}{2}+b)(\frac{1-3b}{2}+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1-3b + 6b}{2} - \frac{1-3b + 2b}{2}.\frac{1-3b + 4b}{2} & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1+3b}{2} - \frac{1-b}{2}.\frac{1+b}{2} & = -2 \\ \frac{1-9b^2}{4} - \frac{1-b^2}{4} & = -2 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 1-9b^2 - (1-b^2) & = -8 \\ -8b^2 & = -8 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $.
Karena $ u_1 > u_2 $, maka $ b = -1 $ yang memenuhi, sehingga
$ a = \frac{1-3b}{2} = \frac{1-3(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
*). Menentukan suku-sukunya :
$ \begin{align} u_1 & = a = 2 \\ u_2 & = a + b = 2 + (-1) = 1 \\ u_3 & = a + 2b = 2 + 2(-1) = 0 \\ u_4 & = a + 3b = 2 + 3(-1) = -1 \end{align} $.
*). Menentukan invers matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} & = \frac{1}{2.(-1) - 1.0} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $.
Jadi, hasil $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ \frac{2x-1}{3x+2} \geq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{4} \leq x \leq -\frac{2}{3} \, $
B). $ \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $
C). $ - \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $
D). $ x \leq -\frac{5}{4} \, $ atau $ x > -\frac{2}{3} $
E). $ x < -\frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq \frac{5}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar, jika bentuk pecahan maka tentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya
2). Buat garis bilangan dan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerahnya,
Jika $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \frac{2x-1}{3x+2} & \geq 2 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - 2 & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{2(3x+2)}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{6x + 4}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{-4x - 5}{3x+2} & \geq 0 \end{align} $.
-). AKar-akarnya :
$ -4x - 5 = 0 \rightarrow x = - \frac{5}{4} $
$ 3x + 2 = 0 \rightarrow x = - \frac{2}{3} $
-). Garis bilangannya :
gambar 1.
Karena pecahan, maka akar penyebut selalu tidak ikut dan yang diminta $ \geq 0 $ sehingga solusinya $ - \frac{5}{4} \leq x < - \frac{2}{3} $ .
Jadi, Penyelesaiannya adalah $ - \frac{5}{4} \leq x < - \frac{2}{3} . \, \heartsuit $
(tidak ada opsion yang tepat).