Cara 2 Pembahasan Sistem UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa langsung mengoperasikan persamaan-persamaan yang diketahui sehingga kita peroleh sesuai dengan pertanyaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Langsung kita jumlahkan ketiga persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2x + 3y + z = 1 & \\ x + 2y + 3z = 5 & \\ 3x + y + 2z = 6 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 12 & (: 2) \\ x + y + z = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). 3$\times$pers(i) - pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 6x + 9y + 3z = 3 & \\ x + 2y + 3z = 5 & - \\ \hline 5x + 7y = -2 & ..(iv) \end{array} $
*). 2$\times$pers(i) - pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} 4x + 6y + 2z = 2 & \\ 3x + y + 2z = 6 & - \\ \hline x + 5y = -4 & ..(v) \end{array} $
*). pers(iv) - 5$\times$pers(v) :
$ \begin{array}{cc} 5x + 7y = -2 & \\ 5x + 25y = -20 & - \\ \hline -18y = 18 & \\ y = -1 & \end{array} $
Pers(v): $ x + 5y = -4 \rightarrow x + 5(-1) = - 4 \rightarrow x = 1 $
Pers(i): $ 2x + 3y + z = 1 \rightarrow 2.1 + 3.(-1) + z = 1 \rightarrow z = 2 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} x + y + z & = 1 + (-1) + 2 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar persamaan $ 6x^2 - 3x - 3 = 0 $, maka persamaan dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1}+1 $ dan $ \frac{1}{x_2} + 1 $ dapat difaktorkan menjadi ....
A). $ (y-2)(y-3) = 0 \, $
B). $ (y-2)(y-1) = 0 \, $
C). $ (y+2)(y-3) = 0 \, $
D). $ (y+2)(y-1) = 0 \, $
E). $ (y-2)(y+1) = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ y_1 $ dan $ y_2 $ adalah
$ (y-y_1)(y-y_2) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} 6x^2 - 3x - 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2x^2 - x - 1 & = 0 \\ (x -1)(2x + 1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru (PKB) dengan akar-akar :
$ y_1 = \frac{1}{x_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2 $

$ y_2 = \frac{1}{x_2} + 1 = \frac{1}{-\frac{1}{2}} + 1 = -2 + 1 = -1 $
*). Menyusun persamaan kuadrat barunya :
$\begin{align} (y-y_1)(y-y_2) & = 0 \\ (y-2)(y-(-1)) & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB-nya adalah $ (y-2)(y+1) = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu yaitu $ \infty - \infty $ atau $ \frac{0}{0} $ salah satunya bisa dengan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2}{(x+2)(x - 2)} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2 - 4 }{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{(x -2)}{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x+2} \right) \\ & = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) $ sama dengan .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ 1 D). $ 2 \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{\sin ma}{na} = \frac{m}{n} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 f(x) + \cos ^2 f(x) = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \frac{\sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a + \sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a( \sin ^2 2a + \cos ^2 2a) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a ( 1) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{\cos 2a} \left( \frac{\sin 2a }{a} \right) \\ & = \frac{1}{\cos 0} . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ , grafik fungsi di atas memotong grafik $ y = \cos 2x $ pada titik yang memenuhi .....
A). $ \sin 2x = \frac{2}{3} \, $
B). $ \tan 2x = \frac{2}{3} \, $
C). $ \sin 2x = \frac{1}{3} \, $
D). $ \cos 2x = \frac{1}{3}\sqrt{5} \, $
E). $ \cos 2x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi trigonometri $ y = a \sin kx $ memiliki amplitudo $ a $ dan periode $ P = \frac{2\pi}{k} $ dimana grafik fungsinya melalui titik $ (0,0) $.
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{\sin f(x)}{\cos f(x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari grafik diketahui $ a = 1,5 = \frac{3}{2} $ ,
Periode $ = \pi \rightarrow \frac{2\pi}{k} = \pi \rightarrow k = 2 $.
(satu periode = satu gelombang dan satu lembah).
*). Fungsi trigonometri grafik di atas :
$ y = a \sin kx \rightarrow y = \frac{3}{2} \sin 2x $.
*). Titik potong kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{3}{2} \sin 2x & = \cos 2x \\ \frac{ \sin 2x }{\cos 2x } & = \frac{1}{\frac{3}{2}} \\ \tan 2x & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, berpotongan pada $ \tan 2x = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $