Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari suatu deret aritmetika dengan suku ke-$n$ adalah $ U_n$, diketahui $ U_3 +U_6+U_9+U_{12} = 72 $. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ....
A). $ 231 \, $ B). $ 238 \, $ C). $ 245 \, $ D). $ 252 \, $ E). $ 259 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan deret aritmetika
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaan :
$ \begin{align} U_3 +U_6+U_9+U_{12} & = 72 \\ (a + 2b ) + ( a + 5b) + (a + 8b) + ( a + 11b) & = 72 \\ 4a + 26b & = 72 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 13b & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_{14} $ dari pers(i) di atas :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{14} & = \frac{14}{2}(2a + (14-1)b) \\ & = 7.(2a + 13b) \\ & = 7.(36) = 252 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_{14} = 252 . \, \heartsuit $


Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-(2x-3)\} = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus limit $ x $ menuju tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-(2x-3)\} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-\sqrt{(2x-3)^2} \} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-\sqrt{4x^2 - 12x + 9} \} \\ & = \frac{b - p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4 - (-12)}{2\sqrt{4}} \\ & = \frac{16}{2.2} = 4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $


Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, P pada EG sehingga $ EP = 3PG $. Jika jarak E ke AP adalah $ a $, maka rusuk kubus tersebut adalah ....
A). $ \frac{a}{3}\sqrt{15} \, $ B). $ \frac{4a}{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{17} \, $ D). $ a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan panjang pada dimensi tiga bisa menggunakan perbandingan luas segitiga.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 
Misalkan panjang rusuk kubus $ = x $.
Jarak titik E ke AP adalah panjang $ EM = a $
Panjang $ EG = x\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
Panjang $ EP = \frac{3}{4}EG = \frac{3}{4}x\sqrt{2} $
*). Panjang AP pada segitiga AEP :
$ \begin{align} AP & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{x^2 + (\frac{3}{4}x\sqrt{2} )^2} \\ & = \sqrt{x^2 + \frac{18}{16}x^2} = \sqrt{\frac{34}{16}x^2} \\ & = \frac{x}{4}\sqrt{34} = \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AEP :
$ \begin{align} \text{Luas AEP, alas AP } & = \text{Luas AEP, alas EA} \\ \frac{1}{2}.AP.EM & = \frac{1}{2}.AE.EP \\ AP.EM & = AE.EP \\ \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} .a & = x . \frac{3}{4}x\sqrt{2} \\ \sqrt{17} .a & = 3x \\ x & = \frac{a}{3}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, panjang rusuk kubus adalah $ \frac{a}{3}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Integral Turunan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gradien garis singgung suatu kurva di titik $ (x,y) $ sama dengan $ 2x + 5 $. Jika kurva ini melalui titk $(2,20) $ , maka kurva tersebut memotong sumbu X di titik ....
A). $ (2,0) \, $ dan $ (3,0) $
B). $ (-2,0) \, $ dan $ (-3,0) $
C). $ (2,0) \, $ dan $ (-3,0) $
D). $ (-2,0) \, $ dan $ (3,0) $
E). $ (-2,0) \, $ dan $ (2,0) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Garis singgung kurva : $ m = f^\prime ( x ) $
*). Integral menentukan fungsi awal :
$ f(x) = \int f^\prime (x) \, dx $
*). untuk menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X, caranya substitusi $ y = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui gradien : $ m = 2x + 5 $
sehingga $ f^\prime (x) = m = 2x + 5 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ dengan integral :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^\prime (x) \, dx \\ & = \int (2x + 5) \, dx \\ & = \frac{2}{2}x^2 + 5x + c \\ f(x) & = x^2 + 5x + c \end{align} $
*). Substitusi titik $ (x,y) = (2,20 ) $ ke fungsi $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + 5x + c \\ 20 & = 2^2 + 5.2 + c \\ 20 & = 14 + c \\ 6 & = c \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 + 5x + 6 $
*). Menentukan titik potong sumbu X, substitusi $ y = f(x) = 0 $ :
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + 5x + 6 \\ 0 & = x^2 + 5x + 6 \\ 0 & = (x +2)(x+3) \\ x & = -2 \vee x = -3 \end{align} $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-2,0 ) $ dan $ ( -3,0) . \, \heartsuit $


Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)