Pembahasan Program Linear 2 UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai minimum dari $ z = 6x + 9y $ yang memenuhi syarat $ 4x + y \geq 20 $ , $ x + y \leq 20 $ , $ x + y \geq 10 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 4x + y \geq 20 \rightarrow (0,20) , \, (5,0) $
Garis II : $ x + y \leq 20 \rightarrow (0,20), \, (20,0) $
Garis III : $ x + y \geq 10 \rightarrow (0,10) , \, (10,0) $
 
*). Menentukan titik pojok A, B, C dan D :
Titik $ A(10,0) , B(20,0), C(0,20) $
-). Titik D, Eliminasi persI dan pers III :
$ \begin{array}{cc} 4x + y = 20 & \\ x + y = 10 & - \\ \hline 3x = 10 & \\ x = \frac{10}{3} & \end{array} $
Pers(III): $ x + y = 10 \rightarrow \frac{10}{3} + y = 10 \rightarrow y = \frac{20}{3} $
Sehingga titik $ D \left( \frac{10}{3} , \frac{20}{3} \right) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 6x + 9y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 6.10 + 9.0 = 60 \\ B \rightarrow z & = 6.20 + 9.0 = 120 \\ C \rightarrow z & = 6.0 + 9.20 = 180 \\ D \rightarrow z & = 6.\frac{10}{3} + 9.\frac{20}{3} = 80 \end{align} $.
Jadi, nilai minimumnya adalah $ 60 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n $ adalah jumlah $ n $ suku suatu deret geometri yang rasionya $ r $ , maka $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = .... $
A). $ r^{2n} $
B). $ \frac{1}{2}(r^{2n} - 1) $
C). $ \frac{1}{2} + r^{2n} $
D). $ \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) $
E). $ r^{2n} + 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret geometri ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ S_{4n} $ dan $ S_{2n} $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \\ S_{4n} & = \frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1} \\ S_{2n} & = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} & = \frac{\frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1}}{2.\frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1}} \\ & = \frac{(r^{4n} - 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{((r^{2n})^2 - 1^2)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} - 1)(r^{2n} + 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} + 1)}{2} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Fungsi UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = 3 \sin 2x - 2 \cos 3x $ , maka $ \frac{dy}{dx} = .... $
A). $ 6 \cos 2x + 6 \sin 3x \, $
B). $ -6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
C). $ 6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
D). $ 3 \cos 2x + 2 \sin 3x \, $
E). $ 3 \cos 2x - 2 \sin 3x \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = - f^\prime (x) \sin f(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = 3 \sin 2x - 2 \cos 3x \\ \frac{dy}{dx} & = y^\prime = 3. 2 \cos 2x - 2. 3.(- \sin 3x) \\ & = 6 \cos 2x + 6 \sin 3x \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \frac{dy}{dx} = 6 \cos 2x + 6 \sin 3x . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Suatu deret aritmetika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -7 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret aritmetika ($S_n$):
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku pertama dengan $ b = 2 $ dan $ S_{20} = 240 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{20} & = 240 \\ \frac{20}{2}(2a + (20-1).2) & = 240 \\ 10.(2a + 19.2) & = 240 \\ 2a + 38 & = 24 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align} $
*). Menentukan $ S_7 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_7 & = \frac{7}{2}(2.(-7) + (7-1).2) \\ & = \frac{7}{2}(-14 + 12) \\ & = \frac{7}{2}(-2) = -7 \end{align} $
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah $ -7 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bila $ \frac{4}{5} (2^{3x-1}) + \frac{8^x}{10} = 2 $ , maka $ x = .... $
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{4}{5} (2^{3x-1}) + \frac{8^x}{10} & = 2 \\ \frac{4}{5} \left( \frac{2^{3x}}{2^1} \right) + \frac{(2^3)^x}{10} & = 2 \\ \frac{4}{10} \left( 2^{3x} \right) + \frac{2^{3x}}{10} & = 2 \\ \frac{4}{10} \left( 2^{3x} \right) + \frac{1}{10} (2^{3x}) & = 2 \\ \left( \frac{4}{10} + \frac{1}{10}\right) . 2^{3x} & = 2 \\ \frac{5}{10} . 2^{3x} & = 2 \\ \frac{1}{2} . 2^{3x} & = 2 \\ 2^{3x} & = 4 \\ 2^{3x} & = 2^2 \\ 3x & = 2 \\ x & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)