Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah kuadrat semua nilai $ y $ yang memenuhi sistem persaman
$ \begin{align} & 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 = 0 \\ & x - 2y - 1 = 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ \frac{215}{4} \, $ B). $ \frac{213}{4} \, $ C). $ \frac{211}{4} \, $ D). $ \frac{209}{4} \, $ E). $ \frac{207}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ dengan akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
*). Jumlah kuadrat dari $ a $ dan $ b $ dapat ditulis
Jumlah kuadrat $ \, = a^2 + b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan kedua :
$ x - 2y -1 = 0 \rightarrow x = 2y + 1 $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 & = 0 \\ 2(2y + 1)^2 - 6y^2 + 3(2y + 1) + y - 1 & = 0 \\ 2y^2 + 15y + 4 & = 0 \\ a = 2, b = 15 , c & = 4 \\ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} & = \frac{-15}{2} \\ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kuadrat nilai $ y $ :
$ \begin{align} y_1^2 + y_2^2 & = (y_1+y_2)^2 - 2.y_1.y_2 \\ & = \left(\frac{-15}{2} \right) ^2 - 2.2 \\ & = \frac{225}{4} - 4 = \frac{225}{4} - \frac{16}{4} \\ & = \frac{209}{4} \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat nilai $ y $ adalah $ \frac{209}{4} . \, \heartsuit $


Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ dapat ditulis sebagai $ |4x+a|>b $ , dengan nilai $ a $ dan $ b $ berturut-turut adalah ....
A). $ 7 \, $ dan $ 13 $
B). $ 13 \, $ dan $ 7 $
C). $ 6 \, $ dan $ 13 $
D). $ 13 \, $ dan $ -6 $
E). $ -13 \, $ dan $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| > b \rightarrow f(x) < -b \, $ atau $ f(x) > b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} \frac{x-2}{2x+3} & < 1 \\ \frac{x-2}{2x+3} - 1 & < 0 \\ \frac{x-2}{2x+3} - \frac{2x+3}{2x+3} & < 0 \\ \frac{-x-5}{2x+3} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -x - 5 = 0 \rightarrow x = -5 $
$ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $
Garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya : $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Bentuk $ |4x + a | > b $ memiliki solusi yang sama dengan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ yaitu $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Sifat pertidaksamaan Mutlak
$ |4x + a| > b \, $ memiliki solusi :
$ \begin{align} 4x + a < -b \, & \vee \, 4x + a > b \\ 4x < -b - a \, & \vee \, 4x > b - a \\ x < \frac{-b - a}{4} \, & \vee \, x > \frac{b - a}{4} \\ \text{ yang sama } & \text{ dengan } \\ x < -5 \, & \vee \, x > -\frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga kita peroleh persamaan :
$ \frac{-b - a}{4} = -5 \rightarrow a + b = 20 \, $ ....(i)
$ \frac{b - a}{4} = -\frac{3}{2} \rightarrow -a + b = -6 \, $ ....(ii)
Selesaikan kedua persamaan ini, kita peroleh $ a = 13 $ dan $ b = 7 $.
Jadi, nilai $ a = 13 $ dan $ b = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah $ a $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ , maka panjang rusuk TA adalah ....
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{44} \, $ B). $ \frac{a}{8}\sqrt{42} \, $ C). $ \frac{a}{10}\sqrt{41} \, $ D). $ \frac{a}{9}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{a}{8}\sqrt{41} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar:
 

Sudut antara TAB adan ABCD adalah $ \angle TEO = \alpha $
Nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ sehingga $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $.
Panjang $ EO = EA = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}a $
Segitiga TAE siku-siku di E.
*). Menentukan Panjang TE dari $ \Delta TOE $ :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \frac{4}{5} \\ \frac{EO}{TE} & = \frac{4}{5} \\ \frac{\frac{1}{2}a}{TE} & = \frac{4}{5} \\ TE & = \frac{5}{8} a \end{align} $
*). Menentukan Panjang TA dari $ \Delta TAE $ :
$ \begin{align} TA & = \sqrt{TE^2 + EA^2 } \\ & = \sqrt{\left(\frac{5}{8} a\right)^2 + \left(\frac{1}{2} a\right)^2 } \\ & = \sqrt{\frac{25}{64} a^2 + \frac{1}{4} a^2 } \\ & = \sqrt{\frac{41}{64} a^2 } = \frac{a}{8}\sqrt{41} \end{align} $
Jadi, panjang $ TA = \frac{a}{8}\sqrt{41} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $ \vec{w} $ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $ (a, 1-a, a) $ pada vektor $ (-1,-1,1) $. Jika panjang $ \vec{w} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ , maka di antara nilai $ a $ berikut ini yang memenuhi adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
-). Perkalian dot : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| $
*). Sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)|^2 = [f(x)]^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui (permisalan):
$ \vec{a} = (a, 1-a, a) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,-1,1) $
panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan $ |\vec{b}| $ :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = a.(-1) + (1-a).(-1) + a.1 \\ & = a - 1 \\ |\vec{b}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \text{panjang proyeksi } & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{a - 1}{\sqrt{3}} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \frac{|a - 1|}{\sqrt{3}} & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ |a - 1| & = \frac{2}{3}\sqrt{3}. \sqrt{3} \\ |a - 1| & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |a - 1|^2 & = 2^2 \\ (a - 1)^2 & = 4 \\ a^2 - 2a + 1 & = 4 \\ a^2 - 2a -3 & = 0 \\ (a + 1)(a - 3) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -1 \, $ atau $ a = 3 $ (C) $ . \, \heartsuit $