Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk jenis soal seperti ini, jarak titik C ke bidang BDG adalah
$ = \frac{1}{3} \times \, $ diagonal ruang.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH :
 

$ CE = 4\sqrt{3} \, $ (diagonal ruang)
*). Perhatikan gambar, jarak titik C ke bidang BDG sama dengan CM karena garis CM tegak lurus dengan bidang BDG. Panjang CM adalah $ \frac{1}{3} $ panjang CE (diagonal ruangnya).
*). Menentukan panjang CM :
$ CM = \frac{1}{3} . CE = \frac{1}{3}. 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan jarak pada dimensi tiga, kita bisa menggunakan perbansingan luas segitiga.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH :
 

$ AC = 4\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
$ CN = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{2} $
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} = 2\sqrt{2}.\sqrt{3} $
Jarak C ke bidang BDG = jarak C ke garis GN = panjang CM.
*). Menentukan panjang CM dengan luas segitiga CGN yaitu alasnya GN dan alasnya CN:
$\begin{align} \frac{1}{2}. GN . CM & = \frac{1}{2} . CN . CG \\ CM & = \frac{CN.CG}{GN} \\ & = \frac{2\sqrt{2}. 4}{2\sqrt{2}.\sqrt{3}} \\ & = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $ , maka nilai dari $ f^\prime (0) $ adalah ....
A). $ -2\frac{1}{4} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1\frac{3}{4} \, $ D). $ -1\frac{1}{4} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi :
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^2 \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U .V^\prime}{V^2} $
*). Untuk bentuk pecahan $ y = \frac{ax+b}{cx+d} $ ,
turunannya adalah $ y^\prime = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $, kita misalkan $ g(x) = \frac{2x+1}{x-3} $ , sehingga turunannya $ g^\prime (x) = \frac{2.(-3) - 1.1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2 } $
*). Menentukan turunan fungsi pada soal :
$\begin{align} f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = x^2 + 2x - 3 \\ f\left[ g(x) \right] & = x^2 + 2x - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) . \frac{-7}{(x-3)^2 } & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Agar kita peroleh $ f^\prime (0) $, haruslah :
$\begin{align} \frac{2x+1}{x-3} & = 0 \\ 2x+1 & = 0 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Substitusi $ x = -\frac{1}{2} \, $ ke (i) :
$\begin{align} f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ f^\prime \left( \frac{2. ( -\frac{1}{2})+1}{ -\frac{1}{2}-3} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{1}{2}-3)^2 .(2.( -\frac{1}{2}) + 2) \\ f^\prime \left( \frac{-1+1}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{7}{2})^2 .(-1 + 2) \\ f^\prime \left( \frac{0}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. \frac{49}{4} .(1) \\ f^\prime \left( 0 \right) & = - \frac{7}{4} \\ & = - 1\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( 0 \right) = -1\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Suku Banyak UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan penjumlahan akar-akar suku banyak, bisa menggunakan teorem Vieta (operasi akar-akar).
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan akar-akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah $ x_1 , x_2, $ dan $ x_3 $ dengan salah satu akarnya $ x_3 = 2 $ :
Operasi penjumlahan akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 + 2 & = \frac{-2}{1} \\ x_1 + x_2 + 2 & = -2 \\ x_1 + x_2 & = -4 \end{align} $
Sehingga jumlah dua akar selain $ x_3 = 2 $ adalah
$ x_1 + x_2 = -4 $.
Jadi, jumlah dua akar lainnya adalah $ - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan akar-akar suku banyak, bisa menggunakan metode horner.
*). Misalkan $ k $ adalah akar dari suku banyak $ f(x) = 0 $ , maka bisa kita substitusi sehingga $ f(k) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ p $ dengan substitusi $ x = 2 $ :
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 + px - 6 & = 0 \\ 2^3 + 2.2^2 + p.2 - 6 & = 0 \\ 8 + 8 + 2p - 6 & = 0 \\ 2p & = - 10 \\ p & = -5 \end{align} $
Sehingga suku banyaknya menjadi : $ x^3 + 2x^2 -5x - 6 = 0 $
*). Memfaktorkan dengan metode horner :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -5 & -6 & \\ 2 & * & 2 & 3 & 6 & + \\ \hline & 1 & 4 & 3 & 0 & \end{array} $
Sisanya : $ 0 \, $ (karena $ x = 2 $ adalah akarnya)
Hasilnya : $ x^2 + 4x + 3 $
Yang dapat difaktorkan menjadi :
$ x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) $
$ x_1 = -1 , x_2 = -3$,
Sehingga jumlah dua akar selain $ x_3 = 2 $ adalah
$ x_1 + x_2 = -1 + (-3) = -4 $.
Jadi, jumlah dua akar lainnya adalah $ - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka 0,1,2,...,9 dan habis dibagi oleh 5 adalah ....
A). $ 136 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 162 \, $ E). $ 180 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Kaidah aturan perkalian :
Jika ada dua kejadian yaitu $ p $ dan $ q $ terjadi sekaligus, maka total kejadiannya adalah $ p \times q$.
*). Ciri-ciri suatu bilangan dapat dibagi oleh 5 adalah satuannya harus 0 atau 5.
*). Bilangan dengan digit berbeda, artinya tidak boleh ada digit yang sama sehingga angka yang sudah kita pakai tidak boleh dipakai lagi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 10 pilihan angka yaitu : $ 0,1,2, ... , 9 $
*). Bilangan dengan tiga digit terdiri dari ratusan, puluhan dan satuan (berbeda).
*). Agar bilangan habis dibagi 5 maka satuannya harus 0 atau 5. Kita bagi menjadi dua kasus yaitu :
-). satuannya angka 0,
Satuan ada 1 cara,
Ratusan ada 9 cara yang tersisa,
Puluhan ada 8 cara yang tersisa,
Cara I $ = 1 \times 9 \times 8 = 72 \, $ cara.
-). satuannya angka 5,
Satuan ada 1 cara,
Ratusan ada 8 cara yang tersisa (angka 0 tidak boleh didepan),
Puluhan ada 8 cara yang tersisa (angka 0 boleh ikut),
Cara II $ = 1 \times 8 \times 8 = 64 \, $ cara.
-). Sehingga total cara :
Total = Cara I $ + $ cara II = $ 72 + 64 = 136 \, $ cara.
Jadi, ada 136 bilangan $ . \, \heartsuit $