Pembahasan Eksponen UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = b^x , \, b \, $ konstanta positif, maka $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = .... $
A). $ f(1 - x^2)f(1 - x^2) \, $
B). $ f(1 - x^2)f(x^2 - 1) \, $
C). $ f(x^2 - 1)f( x^2 - 1) \, $
D). $ f(1 - x^2) + f(1 - x^2) \, $
E). $ f(x^2 - 1) + f( x^2 - 1) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk fungsi masing-masing :
$ f(x) = b^x $
$ f(x^2 - 1) = b^{x^2 - 1} $
$ f(1 - x^2) = b^{1 - x^2} $
*). Menentukan hasil :
$ \begin{align} \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} & = \frac{b^{x^2 - 1}}{b^{1 - x^2}} \\ & = b^{x^2 - 1} . b^{-(1 - x^2)} \\ & = b^{x^2 - 1} . b^{x^2 - 1} \\ & = f(x^2-1) . f(x^2-1) \end{align} $
Jadi, Bentuk $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = f(x^2-1) f(x^2-1) . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit fungsi Trigonometri
*). sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\tan f(x) }{f(x)} = 1 \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
*). Rumus trigonometri :
$ \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{x^2-y^2} . \frac{\tan x + \tan y}{(1 - \tan x \tan y)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{x^2-y^2} . \tan (x + y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{(x-y)(x+y)} . \tan (x + y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{\tan (x+y) }{(x+y)} . \frac{-2y^2}{(x-y) } \\ & = 1 . \frac{-2y^2}{(-y-y) } \\ & = \frac{-2y^2}{(-2y) } = y \end{align} $ .
Jadi, hasil limitnya adalah $ y . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTUL UGM 2017 Matematika IPA Kode 814


Nomor 1
$ \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y $
Nomor 2
Jika $ f(x) = b^x , \, b \, $ konstanta positif, maka $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = .... $
A). $ f(1 - x^2)f(1 - x^2) \, $
B). $ f(1 - x^2)f(x^2 - 1) \, $
C). $ f(x^2 - 1)f( x^2 - 1) \, $
D). $ f(1 - x^2) + f(1 - x^2) \, $
E). $ f(x^2 - 1) + f( x^2 - 1) \, $
Nomor 3
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $
Nomor 4
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui suatu deret tak hingga $ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$, $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). $ 32 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 1 $

Nomor 6
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka 0,1,2,...,9 dan habis dibagi oleh 5 adalah ....
A). $ 136 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 162 \, $ E). $ 180 $
Nomor 8
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $
Nomor 9
Jika $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $ , maka nilai dari $ f^\prime (0) $ adalah ....
A). $ -2\frac{1}{4} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1\frac{3}{4} \, $ D). $ -1\frac{1}{4} \, $ E). $ -1 $
Nomor 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

Nomor 11
Diketahui dua bilangan real positif $ x $ dan $ y $. Jika $ x + 2y = 20 $, maka nilai maksimum dari $ x^2y $ adalah .....
A). $ \frac{16000}{9} \, $ B). $ \frac{16000}{27} \, $ C). $ \frac{4000}{27} \, $ D). $ \frac{1600}{27} \, $ E). $ \frac{400}{9} $
Nomor 12
Jika $ \tan A = \frac{4}{3} $ , dan $ \tan B = 7 $ , maka $ A + B = .... $
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 135^\circ \, $ C). $ 150^\circ \, $ D). $ 225^\circ \, $ E). $ 330^\circ $
Nomor 13
DIberikan bilangan-bilangan positif $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika dan $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + x_2 = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $
Nomor 14
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $
Nomor 15
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $


Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Untuk bilangan $ a > 1 $ , jika $ p = \frac{x}{a^3} $ , maka nilai semua $ x $ yang memenuhi $ \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} < 0 $ adalah ....
A). $ a^{-3} < x < a^4 \, $
B). $ a^{3} < x < a^4 \, $
C). $ a^{-3} < x < a^3 \, $
D). $ a^{-2} < x < a^2 \, $
E). $ a < x < a^4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=a^2 \Rightarrow p & = \frac{x}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = a^{-1} \\ \frac{{}^{a^{-1}} \log a }{{}^a \log a^2 \, - 4} & < 0 \\ \frac{-1}{2 \, - 4} & < 0 \\ \frac{1}{2} & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \\ \text{Pilih} \, x=a \Rightarrow p & = \frac{x}{a^3} = \frac{a}{a^3} = a^{-2} \\ \frac{{}^{a^{-2}} \log a }{{}^a \log a \, - 4} & < 0 \\ \frac{-2}{1 \, - 4} & < 0 \\ \frac{2}{3} & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=a$ SALAH, opsi yang salah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ a^3 < x < a^4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Untuk bilangan $ a > 1 $ , jika $ p = \frac{x}{a^3} $ , maka nilai semua $ x $ yang memenuhi $ \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} < 0 $ adalah ....
A). $ a^{-3} < x < a^4 \, $
B). $ a^{3} < x < a^4 \, $
C). $ a^{-3} < x < a^3 \, $
D). $ a^{-2} < x < a^2 \, $
E). $ a < x < a^4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nol kan salah satu ruas, kemudian kita tentukan akar-akarnya,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif,
Jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif.
*). Konsep logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena solusi yang ada di option dalam bentuk $ a $ dan $ x $, maka $ p $ harus kita ganti dulu.
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} & < 0 \\ \frac{{}^\frac{x}{a^3} \log a }{{}^a \log x \, - 4} & < 0 \\ \frac{1 }{\left( {}^a \log \frac{x}{a^3} \right) ({}^a \log x \, - 4)} & < 0 \\ \text{pertama : } {}^a \log \frac{x}{a^3} & = 0 \\ \frac{x}{a^3} & = a^0 \\ \frac{x}{a^3} & = 1 \\ x & = a^3 \\ \text{kedua : } ({}^a \log x \, - 4) & = 0 \\ {}^a \log x & = 4 \\ x & = a^4 \end{align} $
Garis bilangan dan tandanya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ \{ a^3 < x < a^4 \} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ a^3 < x < a^4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Penerapan Matriks UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan linear
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & 2x \sin a + y \cos a = -2 \\ & 2x \cos a - y \sin a = 2 \end{align} $
mempunyai solusi $ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} \sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ 2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} \sin a - \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a + 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks A :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers matriks A :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
$ AX = B \rightarrow X = A^{-1}.B $
*). Sistem persamaan Linear Metode invers:
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & a_1x + b_1y = c_1 \\ & a_2x + b_2y = c_2 \end{align} $
Bentuk persamaan matriksnya :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & 2x \sin a + y \cos a = -2 \\ & 2x \cos a - y \sin a = 2 \end{align} $
Persamaannya :
$ \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$ \begin{align} & \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) ^{-1} . \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2\sin ^2 a - 2\cos ^2 a} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2(\sin ^2 a + \cos ^2 a)} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2.1} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2\sin a \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2\sin a \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Pada suatu deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3 dan ke-4 sama dengan $ 3 \log 2 + 3\log 3 $. Suku ke-3 deret tersebut adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 54 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ U_6 = 162 \rightarrow ar^5 = 162 \, $ ....pers(i)
*). Jumlah logaritma :
$\begin{align} \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 & = 3 \log 2 + 3\log 3 \\ \log U_2. U_3 . U_4 & = \log 2^3 + \log 3^3 \\ \log ar. ar^2. ar^3 & = \log 2^3. 3^3 \\ a^3r^6 & = (6)^3 \\ (ar^2)^3 & = (6)^3 \\ ar^2 & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
Artinya kita telah menemukan nilai suku ke-3 :
$ U_3 = ar^2 = 6 $.
Jadi, nilai suku ke-3 adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Catatan :
Teman-teman boleh menentukan nilai $ a $ dan $ r $ dengan cara menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), setelah itu baru kita tentukan nilai suku ke-3 nya.

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = \frac{15x-1}{x+k} $ di titik $(x_0,y_0) $ dengan $ x_0 = k + 1 $ memotong sumbu X di $(\frac{1}{2} , 0 ) $. Nilai $ y_0 = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ \frac{45}{2} \, $ E). $ 45 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_0, y_0) $ :
$ \, \, \, \, \, y - y_0 = m(x - x_0) $
dengan $ m = f^\prime (x_0) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ y_0 $ dengan substitusi $ x_0 = k+1 $ :
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y_0 & = \frac{15(k+1)-1}{(k+1)+k} \\ y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien $ m $:
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y^\prime & = \frac{15.(x+k) - (15x-1).1}{(x+k)^2} \\ y^\prime & = \frac{15k + 1}{(x+k)^2} \\ m & = f^\prime (x_0) = f^\prime (k+1) \\ & = \frac{15k + 1}{((k+1)+k)^2} \\ & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - y_0 & = m (x - x_0) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -(k+1)) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \end{align} $
*). Substitusi titik $(\frac{1}{2} , 0 ) $ ke persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \\ 0 - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (\frac{1}{2} -k - 1) \\ - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} . -\frac{1}{2} (2k + 1) \\ - (15k + 14) & = (15k + 1). -\frac{1}{2} \\ 2(15k + 14) & = (15k + 1) \\ 30k + 28 & = 15k + 1 \\ k & = \frac{-9}{5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ y_0 $ :
$\begin{align} y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \times \frac{5}{5} \\ & = \frac{-135 + 70}{-18 + 5} = \frac{-65}{-13} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ y_0 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{8x^2}{( 4-x)^2} $ , maka nilai $ \frac{f^\prime (2)}{f(2)} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan $ f^\prime (2) = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{8x^2}{( 4-x)^2} = \frac{U}{V} \\ f(2) & = \frac{8.2^2}{( 4-2)^2} = 8 \\ U & = 8x^2 \rightarrow U^\prime = 16x \\ V & = ( 4-x)^2 \rightarrow V^\prime = 2. ( 4-x) . (-1) = 2x - 8 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{16x.( 4-x)^2 - 8x^2 . (2x-8)}{( 4-x)^4} \\ f^\prime (2) & = \frac{16.2.( 4-2)^2 - 8.2^2 . (2.2-8)}{( 4-2)^4} \\ & = \frac{128 + 128}{16} = \frac{256}{16} = 16 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{f^\prime (2)}{f(2)} & = \frac{16}{8} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{f^\prime (2)}{f(2)} = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x+1)= 6x^2 + 7x - 7, \, g(x) = ax + 2 $ dan $ (g \circ f)(1) = -5 $ , maka nilai $ f(a-1) = .... $
A). $ -8 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -6 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi :
$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) $.
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ f(x) $ :
Misalkan $ p = x + 1 \rightarrow x = p - 1 $
$\begin{align} f(x+1) & = 6x^2 + 7x - 7 \\ f(p) & = 6(p-1)^2 + 7(p-1) - 7 \\ f(x) & = 6(x-1)^2 + 7(x-1) - 7 \\ f(1) & = 6(1-1)^2 + 7(1-1) - 7 = -7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} (g\circ f)(1) & = - 5 \\ g(f(1)) & = -5 \\ g(-7) & = -5 \\ -7a + 2 & = - 5 \\ a & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(a-1) $ :
$\begin{align} f(x) & = 6(x-1)^2 + 7(x-1) - 7 \\ f(a - 1 ) & = f( 1 - 1) = f(0 ) \\ & = 6(0-1)^2 + 7(0-1) - 7 \\ & = 6(-1)^2 + 7(-1) - 7 \\ & = 6 - 7 - 7 \\ & = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(a - 1 ) = -8 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} = .... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika limit bentuk tak tentu (hasilnya $\frac{0}{0}$), maka bisa diselesaikan dengan cara dalil L'Hopital (turunan).
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
i). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = -\frac{1}{2 } x^{-\frac{3}{2}} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : L'Hopital (turunan)
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - 2. \frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{x}} } = \frac{0}{0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{6x - 2}{ \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} } \\ & = \frac{6.1 - 2}{ \frac{1}{2} .1^{-\frac{3}{2}} } = \frac{4}{ \frac{1}{2} . 1 } = 8 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} = .... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika limit bentuk tak tentu (hasilnya $\frac{0}{0}$), maka bisa diselesaikan dengan beberapa cara yaitu pemfaktoran, merasionalkan, dan dalil L'Hopital (turunan).
*). Pemfaktoran :
i). $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $
ii). $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $
iii). $ ab - b = b(a-1) $
*). Merasionalkan dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Merasionalkan
*). Memfaktorkan pembilang dan penyebutnya :
Pembilangnya :
$\begin{align} & x^3 - x^2 - x + 1 \\ & = (x^3 - x^2 ) - (x -1) \\ & = x^2(x - 1 ) - (x -1) \\ & = (x - 1 )(x^2 - 1) \\ & = (x - 1 )(x - 1)(x+1) \\ & = (x - 1 )^2(x+1) \\ \end{align} $
Penyebutnya :
$ \begin{align} x - 2\sqrt{x} + 1 & = (\sqrt{x} - 1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(x+1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(x+1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(\sqrt{x} + 1)^2(x+1)}{(x - 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, (\sqrt{x} + 1)^2(x+1) \\ & = (\sqrt{1} + 1 )^2.(1+1) \\ & = 4 . 2 = 8 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} = .... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika limit bentuk tak tentu (hasilnya $\frac{0}{0}$), maka bisa diselesaikan dengan beberapa cara yaitu pemfaktoran, merasionalkan, dan dalil L'Hopital (turunan).
*). Pemfaktoran :
i). $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $
ii). $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $
iii). $ ab - b = b(a-1) $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Pemfaktoran
*). Memfaktorkan pembilang dan penyebutnya :
Pembilangnya :
$\begin{align} & x^3 - x^2 - x + 1 \\ & = (x^3 - x^2 ) - (x -1) \\ & = x^2(x - 1 ) - (x -1) \\ & = (x - 1 )(x^2 - 1) \\ & = (x - 1 )(x - 1)(x+1) \\ & = (\sqrt{x} - 1 )(\sqrt{x} + 1 )(\sqrt{x} - 1 )(\sqrt{x} + 1 )(x+1) \\ & = (\sqrt{x} - 1 )^2(\sqrt{x} + 1 )^2(x+1) \end{align} $
Penyebutnya :
$ \begin{align} x - 2\sqrt{x} + 1 & = (\sqrt{x} - 1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(\sqrt{x} - 1 )^2(\sqrt{x} + 1 )^2(x+1)}{(\sqrt{x} - 1)^2 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, (\sqrt{x} + 1 )^2(x+1) \\ & = (\sqrt{1} + 1 )^2.(1+1) \\ & = 4 . 2 = 8 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Sekumpulan bilangan mempunyai rata-rata 15 dengan jangkauan 6. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi $ a $ kemudian hasilnya dibagi $ b $ akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata 7 dan jangkauannya 3. Nilai $ a $ dan $ b $ berturut-turut adalah ....
A). 3 dan 2
B). 2 dan 3
C). 1 dan 2
D). 2 dan 1
E). 3 dan 1

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
*). Konsep perubahan data secara beraturan
-). Rata-rata berubah untuk semua operasi,
-). Jangkauan berubah untuk operasi kali dan bagi saja,
-). Cara pengerjaan : NGIKUT SOAL.
*). Misalkan terdapat rata-rata awal $\overline{X}_0 $ dan jangkauan awal $ J_0 $, kemudian data diubah dengan dikurangi $ a $ kemudian hasilnya dibagi $ b $ akan menghasilkan rata-rata baru $ \overline{X}_1 $ dan jangkauan baru $ J_1$, persamaannya :
$ J_1 = \frac{J_0}{b} $ dan $ \overline{X}_1 = \frac{\overline{X}_0 - a}{b} $

Untuk lebih memahami konsep perubahan data, silahkan baca artikelnya pada "Statistika : Perubahan Data".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui data wala : $ \overline{X}_0 = 15 , \, J_0 = 6 $
Data diubah : kurangi $ a $ lalu dibagi $ b $ :
Data baru : $ \overline{X}_1 = 7 , \, J_b = 3 $
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} J_1 & = \frac{J_0}{b} \\ 3 & = \frac{6}{b} \\ b & = \frac{6}{3}= 2 \end{align} $
*). Menentukan niali $ a $ :
$\begin{align} \overline{X}_1 & = \frac{\overline{X}_0 - a}{b} \\ 7 & = \frac{15 - a}{2} \\ 14 & = 15 - a \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $ dan $ b = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui tiga kantong masing-masing berisi 6 bola yang terdiri dari dua bola putih, dua bola biru, dan dua bola merah. Dari masing-masing kantong diambil satu bola. Peluang terambilnya paling tidak dua bola berwarna putih adalah . . .
A). $ \frac{4}{27} \, $ B). $ \frac{5}{27} \, $ C). $ \frac{6}{27} \, $ D). $ \frac{7}{27} \, $ E). $ \frac{9}{27} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Peluang Kejadian A :
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyaknya kejadian yang diinginkan,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan (ruang sampel).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan P menyatakan peluang terambil putih dan X menyatakan warna bukan putih. Dari setiap kotak, peluang terambil putih adalah $ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ dan peluang bukan putih adalah $ X = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.
*). Peluang terambilnya paling tidak dua bola berwarna putih, artinya bisa dua putih atau tiga putih dari ketiga kotak yang masing-masing diambil satu bola dari setiap kotak.
-). Peluang dua putih dan satu bukan putih :
$ = XPP + PXP + PPX = \frac{2}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{27} $
-). Peluang ketiganya putih :
$ PPP = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{27} $
-). Sehingga peluang semua kemungkinannya :
$ = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27} $ .
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{7}{27} . \, \heartsuit $