Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Pada gambar di bawah, $ \angle RPQ = \angle PSO = 90^\circ $. Besar $ \angle PQS = 60^\circ $ dan $ \angle PTQ = 45^\circ $. Jika $ |RS| = 2 $ , maka $ |TQ| = .... $
 
 A). $ \frac{4}{3\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{4}{2\sqrt{2}} \, $ C). $ \frac{3}{2\sqrt{2}} \, $ D). $ \frac{2}{3\sqrt{2}} \, $ E). $ \frac{2}{2\sqrt{3}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus dasar trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \tan x = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudutnya :
-). Segitiga SPQ :
$ \angle PSQ = 90^\circ , \, \angle PQS = 60^\circ $
Jumlah total sudut segitiga = $ 180^\circ $, sehingga $ \angle SPQ = 30^\circ $.
-). Perhatikan titik S,
$ \angle PSR = \angle PSQ = 90^\circ \, $ (berpelurus, jumlah = $ 180^\circ $)
$ \angle RST = \angle PSQ = 90^\circ \, $ (bertolak belakang)
$ \angle TSQ = \angle PSR = 90^\circ \, $ (bertolak belakang)
-). Segitiga PQR :
$ \angle RPQ = 90^\circ , \, \angle PQS = 60^\circ $
Jumlah total sudut segitiga = $ 180^\circ $, sehingga $ \angle PRS = 30^\circ $.
 

*). Panjang PS pada segitiga PSR :
$\begin{align} \tan \angle PRS & = \frac{PS}{SR} \\ PS & = SR . \tan \angle PRS \\ & = 2 . \tan 30^\circ \\ & = 2 . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{align} $
*). Panjang QS pada segitiga PSQ :
$\begin{align} \tan \angle SPQ & = \frac{QS}{PS} \\ QS & = PS . \tan \angle SPQ \\ & = \frac{2}{\sqrt{3}} . \tan 30^\circ \\ & = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Panjang TQ pada segitiga SQT :
$\begin{align} \sin \angle STQ & = \frac{QS}{TQ} \\ TQ & = \frac{QS}{\sin \angle STQ} \\ & = \frac{\frac{2}{3}}{\sin \angle 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \end{align} $
Jadi, panjang $ TQ = \frac{4}{3\sqrt{2}} . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan
*). Teman-teman juga bisa menggunakan aturan sinus pada segitiga yaitu rumusnya
$ \frac{a}{\sin A } = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
*). Namun pada pembahasan ini, kita cukup menggunakan rumus perbandingan trigonometri yang paling sederhana saja.

Cara 2 Pembahasan Matriks UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $, dan $ I $ adalah matriks identitas yang memenuhi $ AX + 2B = I $, maka determinan matriks X adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Determinan matriks A, simbol $ |A| $ :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $.
*). Sifat determinan matriks :
$ |A.B| = |A| . |B| $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : sifat determinan
+). Determinan matriks A :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 2.1 - 1.1 = 2 - 1 = 1 $
*). Menentukan Determinan matriks X :
$\begin{align} AX + 2B & = I \\ AX + 2\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ AX + \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ AX & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \\ AX & = \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \, \, \text{(determinan)} \\ |AX| & = \left| \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right| \, \, \, \, \, \, \text{(sifat det)} \\ |A|.|X| & = (-1).(-1) - (-2).(-2) \\ 1.|X| & = 1 - 4 \\ |X| & = -3 \end{align} $
Jadi, determinan matriks X adalah $ -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $, dan $ I $ adalah matriks identitas yang memenuhi $ AX + 2B = I $, maka determinan matriks X adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Determinan matriks A, simbol $ |A| $ :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $.
*). Invers matriks A, simbol $ A^{-1} $ :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $.
*). Sifat invers matriks :
$ AX = C \rightarrow X = A^{-1}.C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ A^{-1} $ :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{2.1- 1.1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan matriks X :
$\begin{align} AX + 2B & = I \\ AX + 2\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ AX + \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ AX & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \\ AX & = \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right) \\ X & = A^{-1} \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks X :
$\begin{align} X & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 0 \end{matrix} \right) \\ |X| & = 1.0 - (-1).(-3) \\ & = 0 - 3 = -3 \end{align} $
Jadi, determinan matriks X adalah $ -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah kuadrat tiga suku pertamanya adalah 40 lebih besar dari 9 kali kuadrat suku ke-2. Selisih suku ke-7 dan suku ke-5 adalah ....
A). $ 1079 \, $ B). $ 1166 \, $ C). $ 1296 \, $ D). $ 1386 \, $ E). $ 1469 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus suku ke-$n$ :
$ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m.n} = (a^m)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku pertama $ a = 2 $ :
*). Menentukan nilai $ r^2 $ :
jumlah kuadrat tiga suku pertamanya adalah 40 lebih besar dari 9 kali kuadrat suku ke-2
$\begin{align} u_1^2 + U_2^2 + U_3^2 & = 40 + 9U_2^2 \\ a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 & = 40 + 9(ar)^2 \\ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 & = 40 + 9a^2r^2 \\ 2^2 + 2^2r^2 + 2^2r^4 & = 40 + 9.2^2r^2 \\ 4 + 4r^2 + 4r^4 & = 40 + 36r^2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 1 + r^2 + r^4 & = 10 + 9r^2 \\ r^4 - 8r^2 - 9 & = 0 \\ (r^2+1)(r^2-9) & = 0 \\ r^2 = -1 \vee r^2 & = 9 \end{align} $
Karena nilai $ r^2 $ positif, maka yang memenuhi $ r^2 = 9 $.
*). Menentukan selisis $U_7 $ dan $U_5 $ :
$\begin{align} U_7 - U_5 & = ar^6 - ar^4 \\ & = a.(r^2)^3 - a . (r^2)^2 \\ & = 2. (9)^3 - 2. (9)^2 \\ & = 1296 \end{align} $
Jadi, selisis $U_7 $ dan $U_5 $ adalah $ 1296 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69, maka jumlah suku ke-4 dan ke-5 adalah ....
A). $ 31 \, $ B). $ 33 \, $ C). $ 37 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 46 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan aritmetika :
*). Rumus suku-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada tujuh suku : $ U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_6,U_7 $
*). jumlah tiga suku pertama = 33 :
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 33 \\ a + (a+b) + (a+2b) & = 33 \\ 3a + 3b & = 33 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + b & = 11 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). jumlah tiga suku terakhir = 69 :
$\begin{align} U_5 + U_6 + U_7 & = 69 \\ (a + 4b) + (a+5b) + (a+6b) & = 69 \\ 3a + 15b & = 69 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + 5b & = 23 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 5b = 23 & \\ a + b = 11 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $
Pers(i): $ a + b = 11 \rightarrow a + 3 = 11 \rightarrow a = 8 $
*). Jumlah $ U_4 $ dan $ U_5 $ :
$\begin{align} U_4 + U_5 & = (a + 3b) + (a + 4b) \\ & = 2a + 7b = 2.8 + 7.3 \\ & = 16 + 21 = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_4 + U_5 = 37 . \, \heartsuit $