Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . \sin 2x} - 5\tan x + 5 = 0 $ , maka $ \tan (x_1 + x_2) = .... $
A). $ -\frac{5}{7} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ \frac{\sqrt{5}}{7} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{3} \, $ E). $ \frac{5}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x . \cos x $
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan (x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y } $
*). Bentuk pecahan : $ a = nb \rightarrow \frac{a}{b} = n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan x_1 $ dan $ \tan x_2 $ :
$\begin{align} \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . \sin 2x} - 5\tan x + 5 & = 0 \\ \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . 2\sin x . \cos x} - 5\frac{\sin x}{\cos x } + 5 & = 0 \\ \frac{\cos 2x}{\cos ^2 x } - 5\frac{\sin x}{\cos x } + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \cos ^2 x) \\ \cos 2x - 5\sin x \cos x + 5\cos ^2 x & = 0 \\ \cos 2x + 5 \cos x ( \cos x - \sin x ) & = 0 \\ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) + 5 \cos x & ( \cos x - \sin x ) = 0 \\ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x + 5 \cos x ) & = 0 \\ (\cos x - \sin x)(6\cos x + \sin x ) & = 0 \\ \sin x = \cos x \vee \sin x & = - 6\cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \vee \frac{\sin x}{\cos x} & = - 6 \\ \tan x = 1 \vee \tan x & = - 6 \\ \tan x_1 = 1 \vee \tan x_2 & = - 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan ( x_1 + x_2) $ :
$\begin{align} \tan (x_1 + x_2) & = \frac{\tan x_1 + \tan x_2}{1 - \tan x_1 . \tan x_2 } \\ & = \frac{1 + (-6)}{1 - 1 . (-6) } \\ & = \frac{-5}{1 + 6 } = -\frac{5}{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan (x_1 + x_2) = -\frac{5}{7} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka $ \vec{u}.\vec{v}= 0 $.
*). Panjang vektor $ \vec{u} = (x , y) $ yaitu :
Panjang $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
*). Rumus panjang penjumlahan dua vektor :
$ |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u}.\vec{v} $
*). Perkalian dot dua vektor yang sama menghasilkan panjang.
$ \vec{P}.\vec{P} = (\vec{P})^2 = |\vec{P}|^2 $
*). Luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $
*). Hasil Penjumlahan $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{r} $ secara geometri adalah :

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{b} = (-2,1) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 } = \sqrt{5} $
*). Karena $ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ maka $ \vec{b}.\vec{c} = 0 $.
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} & = 0 \\ \vec{a} & = \vec{b} + \vec{c} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{b} + \vec{c})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b} + \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} \\ 5^2 & = (\sqrt{5})^2 + |\vec{c}|^2 + 2 \times 0 \\ 25 & = 5 + |\vec{c}|^2 + 0 \\ |\vec{c}|^2 & = 20 \\ |\vec{c}| & = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{align} $
*). Ilustrasi gambar :
$ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ dan $ \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} $ sehingga gambar ketiga vektor yaitu :
 
Segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung ketiga vektor adalah segitiga ABC siku-siku di A.
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times AB \times AC \\ & = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} \\ & = \frac{1}{2} \times 10 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, luas segitiganya adalah 5 satuan luas $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} & \leq 1 \\ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 16} - 1 & \leq 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 16} - \frac{x^2 - 16}{x^2 - 16} & \leq 0 \\ \frac{12}{x^2 - 16} & \leq 0 \\ \frac{12}{(x+4)(x-4)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akar penyebutnya :
$ (x+4)(x-4) = 0 \rightarrow x = -4 $ dan $ x = 4 $ .
Akar penyebut tidak boleh ikut.
Garis bilangannya :
 
Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif), HP $ = \{ -4 < x < 4 \} $.
Sehingga bilangan bulat $ x $ yang memenuhi adalah :
$ x = \{ -3,-2,-1,0,1,2,3\} $ yaitu ada 7 bilangan.
Jadi, ada 7 bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Bunga Tabungan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Bunga Majemuk
$ M_n = M_0 (1 + i)^n $
*). Bunga Tunggal
$ M_n = M_0 (1 + n.i) $
Keterangan :
$ M_0 = \, $ tabungan awal,
$ M_n = \, $ tabungan akhir,
$ i = \, $ besarnya bunga per periode,
$ n = \, $ lama menabung (banyak periode).
$ i $ dan $ n $ harus memiliki periode yang sama (satuan sama).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal tidak diketahui jenis bunganya (majemuk atau tunggal), tetapi jika kita lihat dari option jawabannya, maka jenis bunganya adalah bunga majemuk. Silahkan teman-teman coba dengan perhitungan bunga tunggal, pasti tidak ada jawaban yang sesuai di optionnya.
*). Satu periode adalah per semester, sehingga selama 5 tahun nilai $ n = 10 $, artinya $ i $ juga bunga per semester, dengan tabungan akhir menjadi 2 kali tabungan awal yaitu $ M_n = 2M_0 $.
*). Menentukan besar bunga per semester ($i$) :
$\begin{align} M_n & = M_0(1+i)^n \\ 2\not{M_0} & = \not{M_0}(1+i)^{10} \\ 2 & = (1+i)^{10} \\ \sqrt[10]{2} & = (1+i) \\ i & = \sqrt[10]{2} - 1 \end{align} $
Sehingga besarnya bunga per tahun (2 semester) adalah
$ = 2i = 2(\sqrt[10]{2} - 1 ) $.
Jadi, bunga pertahun adalah $ 2(\sqrt[10]{2} - 1 ) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jika $(x,y) $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2y}{x+1} - \frac{x}{y-1} = 1 \\ \frac{-3y}{x+1} + \frac{2x}{y-1} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{xy-x+y-1}{2xy} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{y}{x+1} $ dan $ q = \frac{x}{y-1} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p - q = 1 \\ -3p+2q = -1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2p - q = 1 & \times 2 & 4p - 2q = 2 & \\ -3p+2q = -1 & \times 1 & -3p+2q = -1 & + \\ \hline & & p = 1 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2p - q = 1 \rightarrow 2.1 - q = 1 \rightarrow q = 1 $
*). Dari nilai $ p = 1 $ dan $ q = 1 $,
$ p = 1 \rightarrow \frac{y}{x+1} = 1 \rightarrow y = x+ 1 $
$ q = 1 \rightarrow \frac{x}{y-1} = 1 \rightarrow x = y - 1 \rightarrow y = x+ 1 $
Dari kedua bentuk $ p = 1 $ dan $ q = 1 $ kita peroleh hasil yang sama yaitu :
$ y = x + 1 $ atau $ -x + y = 1 $.
*). Substitusi bentuk $ -x + y = 1 $ ke soal :
$\begin{align} \frac{xy-x+y-1}{2xy} & = \frac{xy+ (-x+y)-1}{2xy} \\ & = \frac{xy+ (1)-1}{2xy} \\ & = \frac{xy }{2xy} \\ & = \frac{1 }{2 } \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{xy-x+y-1}{2xy} = \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 165


Nomor 1
Jika $(x,y) $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2y}{x+1} - \frac{x}{y-1} = 1 \\ \frac{-3y}{x+1} + \frac{2x}{y-1} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{xy-x+y-1}{2xy} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 4
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . \sin 2x} - 5\tan x + 5 = 0 $ , maka $ \tan (x_1 + x_2) = .... $
A). $ -\frac{5}{7} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ \frac{\sqrt{5}}{7} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{3} \, $ E). $ \frac{5}{3} \, $

Nomor 6
Jarak antara titik potong kedua asimtot dari hiperbola $ -\frac{x^2-2nx+n^2}{4}+\frac{y^2-4my+4m^2}{9} = 1 $ pada sumbu X adalah .....
A). $ \frac{2n}{3} \, $ B). $ \frac{4n}{3} \, $ C). $ \frac{2m}{3} \, $ D). $ \frac{4m}{3} \, $ E). $ \frac{8m}{3} $
Nomor 7
Sisa pembagian suatu polinom oleh $(x-3) $ adalah 4, sewdangkan sisa pembagiannya oleh $ (x^2 - 8x + 15) $ adalah $ (ax-5) $. Sisa pembagian polinom tersebut oleh $ (x-5) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 10 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\tan (x+3)}{(x^2-2x-15)\sin \left(\frac{\pi}{2}x\right)} = .... $
A). $ -\frac{1}{8} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b<0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin x. \cos x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ \cos ( \sin x . \cos x ) \, $
B). $ \sin (\cos ^2 x - \sin ^2 x) \, $
C). $ \cos (\sin x) . \cos x ( \cos x) \, $
D). $ \cos 2x . \cos \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \, $
E). $ \sin 2x . \cos (\sin x . \cos x) $
Nomor 14
Jika garis singgung dari kurva $ y = px^3 - qx^2 + 1 $ di $ x = 2 $ adalah $ y - 2x + 5 = 0 $ , maka $ 2pq = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)