Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Batas sumbu X
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Garis $ y = k $ membagi daerah A menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah B dan C, sehingga luas B sama dengan setengah dari luas daerah A.
$\begin{align} \text{ Luas B } & = \frac{1}{2} \text{ Luas A} \\ \int \limits_0^\sqrt{k} ( k - x^2) \, dx & = \frac{1}{2} . \int \limits_0^2 ( 4 - x^2) \, dx \\ [kx - \frac{1}{3}x^3]_0^\sqrt{k} & = \frac{1}{2} . [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}(\sqrt{k})^3 & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{1}{3}.2^3) \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{8}{3} ) \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{8}{3} \\ k\sqrt{k} & = 4 \\ (k\sqrt{k})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat integral :
i). Batas integral bisa dipecah menjadi beberapa bagian :
-). $ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
-). $ \int \limits_a^d f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx +\int \limits_b^c f(x) \, dx+\int \limits_c^d f(x) \, dx$
dengan $ a < b < c < d $
ii). Batas integral bisa diperkecil nilainya :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x + k) \, dx $
(semua batas dikurangkan $ k $ dan variabel fungsinya ditambahkan $ k$).

*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya, atau dapat ditulis $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Meneyelesaikan soal dengan menggunakan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, dan $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) $ serta sifat-sifat integral di atas :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^4 f(x) \, dx + \int \limits_4^6 f(x) \, dx + \int \limits_6^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4) \, dx + \int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+4) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx \\ & = \left( \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx + \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx \right) + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = 2. \left( \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \right) \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral dan persamaan Rekurensi
*). hasil integral : $ \int a^x \, dx = a^x + c $
*). Konsep dasar persamaan rekurensi
Misalkan ada persamaan rekurensi homogen :
$ f(x + n) + f(x + n-1) + ....+ f(x+1) + f(x) = 0 $ ,
maka fungsi $ f(x) $ yang memenuhi adalah $ f(x) = a_1(r_1)^x + a_2(r_2)^x + ...+a_n(r_n)^x $
dengan $ r_1, r_2, ..., r_n \, $ adalah akar-akar dari persamaan :
$ r^n + r^{n-1} + ...+r^1 + r^0 = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan rekurensinya untuk menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = f(x+2) \\ f(x+2) - f(x) & = 0 \\ r^2 - r^0 & = 0 \\ r^2 - 1 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \\ r_1 = -1 \vee r_2 & = 1 \end{align} $
sehingga fungsi $ f(x) $ nya adalah :
$ f(x) = a_1 (r_1)^x + a_2(r_2)^x \rightarrow f(x) = a_1 (-1)^x + a_2(1)^x $
atau disederhanakan : $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $
*). Dari bentuk $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $, kita tentukan $ f(x+8) $
$\begin{align} f(x) & = a_1 (-1)^x + a_2 \\ f (x+8) & = a_1 (-1)^{x+8} + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. (-1)^8 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. 1 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x} + a_2 \end{align} $
*). Dari bentuk : $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $
$\begin{align} \int \limits_0^2 f(x) \, dx & = B \\ \int \limits_0^2 [a_1 (-1)^x + a_2] \, dx & = B \\ [a_1 (-1)^x + a_2x]_0^2 & = B \\ [a_1 (-1)^2 + a_2.2] - [a_1 (-1)^0 + a_2.0] & = B \\ [a_1 + 2a_2 ] - [a_1 + 0] & = B \\ 2a_2 & = B \\ a_2 & = \frac{1}{2}B \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 [a_1 (-1)^{x} + a_2] \, dx \\ & = [a_1 (-1)^{x} + a_2x]_3^7 \\ & = [a_1 (-1)^{7} + a_2.7]- [a_1 (-1)^{3} + a_2.3] \\ & = [a_1 (-1) + 7a_2]- [a_1 (-1) + 3a_2] \\ & = 4a_2 \\ & = 4 . \frac{1}{2}B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat Integral :
$ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
*). Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.

Catatan :
Pernyataan pada konsep dasar ini akan kita buktikan, dan pembuktiannya ada pada bagian paling bawah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari konsep dasar di atas, kita peroleh bentuk $ f(x + 8 ) = f(x) $
dan juga kita peroleh : $ \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx = B $
*). Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^5 f(x) \, dx + \int \limits_5^7 f(x) \, dx \\ & = B + B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $


$\spadesuit $ Pembuktian Konsep Dasar di atas
*). Pernyataan Pertama : Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya .

*). Pernyataan Kedua : Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.
Pembuktian :
-). Misalkan hasil integral dari fungsi $ f(x) $ adalah $ g(x) $, sehingga :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $
-). dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita substitusi $ x $ dengan $ x + 1 $, kita peroleh :
$ f(x) = f(x+2) \rightarrow f(x+1) = f((x+1)+2) \rightarrow f(x + 1) = f( x+ 3) $.
-). Kita interalkan bentuk $ f(x) = f(x + 2) $ dan bentuk $ f(x+1) = f(x + 3) $ :
$ \begin{align} \text{pertama : } \, f(x) & = f(x+2) \\ \int f(x) & = \int f(x+2) \\ g(x) & = g (x+2) + c \\ \text{kedua : } \, f(x+1) & = f(x+3) \\ \int f(x+1) & = \int f(x+3) \\ g(x+1) & = g (x+3) + c \end{align} $
Catatan : nilai $ c $ sama karena fungsinya sama yaitu dari $ f(x) = f(x+2) $.
-). kita kurangkan kedua bentuk hasil integral di atas, kita peroleh :
$ g(x) - g(x+1) = g(x+2) - g(x+3) \rightarrow g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $
-). Dari bentuk $ g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $ , kita substitusikan beberapa nilai $ x $ dengan angka tertentu :
$ x = 0 \rightarrow g(3) - g(1) = g(2) - g(0) $
$ x = 1 \rightarrow g(4) - g(2) = g(3) - g(1) $
$ x = 2 \rightarrow g(5) - g(3) = g(4) - g(2) $
$ x = 3 \rightarrow g(6) - g(4) = g(5) - g(3) $
$ x = 4 \rightarrow g(7) - g(5) = g(6) - g(4) $
dan seterusnya .......
Artinya kita peroleh :
$ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
-). Dari bentuk $ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $ atau $ g(b) - g(a) = \int \limits_a^b f(x) \, dx $ , kita simpulkan :
bentuk $ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
sama saja dengan :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx = \int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_4^6 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx $ dan seterusnya.