Kode 371 Pembahasan Persamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} = 4 $ dan $ {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 = 13 $ , maka ${}^4 \log x - {}^y \log 9 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan Eksponen
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Sifat Eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk persamaan pada soal :
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} & = 4 \\ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log y^{-3} & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x + (-3).{}^3 \log y & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 & = 13 \\ {}^2 \log x + 4. {}^3 \log y & = 13 \\ {}^2 \log x & = 13 - 4. {}^3 \log y \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 2 . (13 - 4. {}^3 \log y ) - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 26 - 8. {}^3 \log y - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ - 11. {}^3 \log y & = 4 - 26 \\ - 11. {}^3 \log y & = -22 \\ {}^3 \log y & = \frac{-22}{-11} = 2 \end{align} $
Pers(ii) : $ {}^2 \log x = 13 - 4. {}^3 \log y = 13 - 4 . 2 = 13 - 8 = 5 $
*). Menentukan hasil dari nilai $ {}^3 \log y = 2 \, $ dan $ {}^2 \log x = 5 $
$ \begin{align} {}^4 \log x - {}^y \log 9 & = {{}^2}^2 \log x^1 - {}^y \log 3^2 \\ & = \frac{1}{2} . {}^2 \log x - 2 . {}^y \log 3 \\ & = \frac{1}{2} . 5 - 2 . \frac{1}{2} \\ & = \frac{5}{2} - 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{3}{2} \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Barisan Aritmatika Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2),...,P_{10}(x_{10},y_{10}) \, $ dilalui oleh garis $ g $ yang mempunyai persamaan $ y + 2x - 3 = 0 $. Bilangan-bilangan $x_1,x_2,...,x_{10} $ membentuk barisan aritmetika. Jika $ x_{10}=2 \, $ dan $ y_5 = 7 $ , maka $ y_7 = .... $
A). $ \frac{19}{5} \, $ B). $ \frac{17}{5} \, $ C). $ \frac{15}{5} \, $ D). $ \frac{13}{5} \, $ E). $ \frac{11}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmatika
*). Rumus suku ke-$n$ :
$ U_n = a + (n-1)b$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui barisan :
$ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ barisan aritmatika sehingga :
$ U_1 = x_1 = a, U_2 = x_2, U_3 = x_3 , ..., U_{10} = x_{10} $
dengan $ x_{10} = 2 $ ,
artinya $ U_{10} = 2 \rightarrow a + 9b = 2 \, $ ...pers(i)
*). Substitusi $ y_5 = 7 \, $ ke persamaan garis
$ \begin{align} y_5 = 7 \rightarrow y + 2x - 3 & = 0 \\ y_5 + 2x_5 - 3 & = 0 \\ 7 + 2x_5 - 3 & = 0 \\ 2x_5 & = -4 \\ x_5 & = -2 \end{align} $
Artinya $ U_5 = -2 \, $ sehingga :
$ U_5 = -2 \rightarrow a + 4b = -2 \, $ ....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} a + 9b = 2 & \\ a + 4b = -2 & - \\ \hline 5b = 4 & \\ b = \frac{4}{5} & \end{array} $
pers(ii) : $ a + 4b = -2 \rightarrow a + 4. \frac{4}{5} = -2 \rightarrow a = -\frac{26}{5} $
*). Menentukan $ x_7 $ :
$ \begin{align} x_7 & = U_7 = a + 6b \\ & = -\frac{26}{5} + 6 .\frac{4}{5} \\ & = -\frac{26}{5} + \frac{24}{5} \\ & = -\frac{2}{5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ y_7 $ dengan substitusi nilai $ x_7 = -\frac{2}{5} $
$ \begin{align} x_7 = -\frac{2}{5} \rightarrow y + 2x - 3 & = 0 \\ y_7 + 2x_7 - 3 & = 0 \\ y_7 + 2. (-\frac{2}{5}) - 3 & = 0 \\ y_7 & = \frac{19}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ y_7 = \frac{19}{5} \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 371 Pembahasan Luas Minimum Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $

$\spadesuit $ Konsep Cara 2 :
*). Perhatikan gambar berikut ini
Luas segitiga AOB akan minimum pada saat : $ b = 2p $ dan $ a = 2l $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
 

sehingga : $ b = 2 \times 4 = 8 $ dan $ a = 2 \times 3 = 6 $
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Luas Minimum Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} $
*). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X dan sumbu Y seperti gambar berikut ini :
Persamaan garisnya adalah : $ ax + by = ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Membuat segitiga dengan garis lurus melalui titik (4,3) dan memotong sumbu-sumbu :

Kita misalkan panjang alas segitiga AOB adalah $ b $ dan tinggi segitiganya adalah $ a $.
Sehingga persamaan garis lurusnya :
$ ax + by = ab $
*). Substitusi titik (4,3) yang dilalui oleh garis :
$ \begin{align} (x,y)=(4,3) \rightarrow ax + by & = ab \\ 4a + 3b & = ab \\ 4a & = ab - 3b \\ 4a & = b(a - 3) \\ b & = \frac{4a}{a-3} \end{align} $
*). Luas segitiga AOB :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a-3} \times a \\ & = \frac{2a^2}{a-3} \\ f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} \end{align} $
*). Menentukan turunan $ f(a) $ :
$ \begin{align} f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2a^2 \rightarrow U^\prime = 4a \\ V & = a - 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (a) & = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{4a.(a-3) + 2a^2. 1}{(a-3)^2} \\ & = \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} \\ \end{align} $
*). Syarat minimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} & = 0 \\ 2a^2 - 12a & = 0 \\ 2a(a - 6) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 6 $ karena panjang tidak nol.
Sehingga : $ b = \frac{4a}{a-3} = \frac{4 . 6}{6-3} = 8 $
Artinya luas segitiga AOB akan minimum pada saat $ a = 6 $ dan $ b = 8 $.
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Garis Singgung Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis lurus yang menyinggung kurva $ y = \sqrt[3]{6-x} \, $ di titik $ x = -2 \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
A). $ (18,0) \, $ B). $ (19,0) \, $ C). $ (20,0) \, $ D). $ (21,0) \, $ E). $ (22,0) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis Singgung Kurva berkaitan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik singgung $(x_1,y_1) $ dengan substitusi absis $(x = -2)$ :
$ \begin{align} x = -2 \rightarrow y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = \sqrt[3]{6-(-2)} \\ y & = \sqrt[3]{8} \\ y & = 2 \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (-2, 2) $
*). Menentukan turunan fungsi kurvanya :
$ \begin{align} y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = (6 - x)^\frac{1}{3} \\ y^\prime & = \frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } . (-1) \\ y^\prime & = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } \end{align} $
Sehingga $ f^\prime (x) = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } $ .
*). Menentukan gradien di titik $ (x_1,y_1) = (-2,2) $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (-2) \\ & = -\frac{1}{3}(6 - (-2))^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(8)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2^3)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2)^{-2 } \\ & = -\frac{1}{3} . \frac{1}{2^2} \\ & = -\frac{1}{12} \end{align} $
*). Menentukan PGS kurva di $(-2,2) $ dengan gradien $ m = -\frac{1}{12} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x-(-2)) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \end{align} $
*). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 0 - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 24 & = (x+2) \\ x & = 22 \end{align} $
Jadi, titik potong sumbu X nya adalah $ (22,0). \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Limit Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} = -4$, maka nilai $ a + b \, $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{g(k)} = \frac{f(k)}{0} = \infty $.
Agar $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} \, $ hasilnya tidak tak hingga ($\infty$), maka limitnya harus bentuk tak tentu yaitu hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ sehingga $ f(k) = 0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ dapat diselesaikan dengan L'Hospital (menggunakan turunan) yaitu :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \\ \frac{(-1)^2+a(-1)+b}{(-1)^2+3(-1)+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{1 -3+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{0} & = -4 \, \, \, \, \, ...(1) \end{align} $
Agar nilai limitnya $ - 4 \, $ maka haruslah bentuk limitnya bentuk tak tentu agar bisa diproses lagi sehingga hasil limitnya menjadi $ -4 $. Agar menjadi bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} \, $ maka dari (1) di atas haruslah $ 1 - a + b = 0 $.
Sehingga : $ 1 - a + b = 0 \rightarrow -a + b = -1 \, $ ...pers(i).

Persamaan kedua :
Karena bentuk tak tentu, maka bisa kita terapkan dalil L'Hospital (turunan),
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{2x+a}{2x+3} & = -4 \\ \frac{2(-1)+a}{2(-1)+3} & = -4 \\ \frac{-2+a}{1} & = -4 \\ -2+a & = -4 \\ a & = -4 + 2 \\ a & = -2 \end{align} $
Pers(i) : $ - a + b = -1 \rightarrow -(-2) + b = -1 \rightarrow b = -3 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b = (-2) + (-3) = -5 $.
Jadi, nilai $ a + b = -5. \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Fungsi Komposisi Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi f dan g dengan $ f (x-2) = 3x^2 - 16x + 26 \, $ dan $ g(x) = ax - 1$. Jika $( f \circ g)(3) = 61, $ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ \frac{9}{8} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Komposisi
*). Definisi fungsi komposisi dua fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Untuk menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(g(x))$, kita misalkan dengan $ p = g(x)$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menetukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(x-2) $.
Misalkan $ p = x -2 \, $ maka $ x = p+ 2 $.
Kita substitusikan ke bentuk fungsi $ f(x - 2 ) $ :
$ \begin{align} f (x-2) & = 3x^2 - 16x + 26 \\ f (p) & = 3(p+2)^2 - 16(p+2) + 26 \\ & = 3(p^2 + 4p + 4) - 16p - 32 + 26 \\ & = 3p^2 + 12p + 12 - 16p - 32 + 26 \\ f(p) & = 3p^2 -4p + 6 \end{align} $
Sehingga $ f(x) = 3x^2 - 4x + 6 $.
*). Dari fungsi $ g(x) = ax - 1 $ ,
maka $ g(3) = 3a - 1 $.
Sehingga bentuk $ ( f \circ g)(3) \, $ yaitu :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = f(g(3)) \\ & = f(3a - 1) \\ & = 3(3a - 1)^2 - 4(3a - 1) + 6 \\ & = 3(9a^2 - 6a + 1) - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 18a + 3 - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 30a + 13 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari komposisinya :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 - 61 & = 0 \\ 27a^2 - 30a - 48 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9a^2 - 10a - 16 & = 0 \\ (9a+8)(a-2) & = 0 \\ a = -\frac{8}{9} \vee a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ yang ada dipilihan . $\, \heartsuit $