Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $ B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $ D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $ B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $ D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akarnya dan operasinya :
PK (1). $ x^2 - 2x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 . 1. (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{16}}{1} = \sqrt{16} $
PK (2). $ x^2 - ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $.
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$ D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1.b = a^2 - 4b $
$ y_1 - y_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{ a^2 - 4b}}{1} = \sqrt{ a^2 - 4b} $
*). Menyusun persamaan dan menyelesaikannya
Pertama :
Jumlah akar-akar PK (2) sama dengan tiga kali jumlah akar-akar PK(2)
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = 3(x_1 + x_2) \\ a & = 3 \times 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kedua :
Kuadrat selisih akar-akar PK(1) sama dengan kuadrat selisih akar-akar PK(2)
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = (y_1-y_2)^2 \\ (\sqrt{16})^2 & = (\sqrt{ a^2 - 4b})^2 \\ 16 & = a^2 - 4b \\ 16 & = 6^2 - 4b \\ 16 & = 36 - 4b \\ 4b & = 36 - 16 \\ 4b & = 20 \\ b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 5 . \, \heartsuit $
*). Memisalkan akar-akarnya dan operasinya :
PK (1). $ x^2 - 2x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 . 1. (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{16}}{1} = \sqrt{16} $
PK (2). $ x^2 - ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $.
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$ D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1.b = a^2 - 4b $
$ y_1 - y_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{ a^2 - 4b}}{1} = \sqrt{ a^2 - 4b} $
*). Menyusun persamaan dan menyelesaikannya
Pertama :
Jumlah akar-akar PK (2) sama dengan tiga kali jumlah akar-akar PK(2)
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = 3(x_1 + x_2) \\ a & = 3 \times 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kedua :
Kuadrat selisih akar-akar PK(1) sama dengan kuadrat selisih akar-akar PK(2)
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = (y_1-y_2)^2 \\ (\sqrt{16})^2 & = (\sqrt{ a^2 - 4b})^2 \\ 16 & = a^2 - 4b \\ 16 & = 6^2 - 4b \\ 16 & = 36 - 4b \\ 4b & = 36 - 16 \\ 4b & = 20 \\ b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 5 . \, \heartsuit $
