Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \theta \, $ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{a} \, $
dan $ \vec{b} $, dengan $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan
$ \vec{b} = (-1,3,-3)$. Jika $ \cos \theta = \frac{5}{19}, \, $ maka $ p^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 25 $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 25 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Misalkan ada dua vektor yaitu $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $.
*). Perkalian Dot nya :
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Jika melibatkan sudut, maka rumusnya :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta $
*). Panjang vektor $ \vec{a} \, $ adalah $ |\vec{a} | $ :
$ |\vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
*). Misalkan ada dua vektor yaitu $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $.
*). Perkalian Dot nya :
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Jika melibatkan sudut, maka rumusnya :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta $
*). Panjang vektor $ \vec{a} \, $ adalah $ |\vec{a} | $ :
$ |\vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ \vec{a} .\vec{b} \, $ dan panjang masing-masing vektor dengan diketahui $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$.
Perkalian dot nya :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = 1. (-1) + (p+1).3 + (p-1).(-3) \\ & = -1 + 3p + 3 - 3p + 3 \\ & = 5 \end{align} $
Panjang vektor masing-masing :
$ \begin{align} | \vec{a} | & = \sqrt{1^2 + (p+1)^2 + (p-1)^2 } \\ & = \sqrt{1 + p^2 + 2p + 1 + p^2 - 2p + 1 } \\ & = \sqrt{2p^2 + 3 } \\ | \vec{b} | & = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2 } \\ & = \sqrt{1 + 9 + 9 } \\ & = \sqrt{19} \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{5}{19} \, $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \sqrt{19} . \frac{5}{19} \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{5}{\sqrt{19}} \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 1 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{1}{\sqrt{19}} \\ \sqrt{2p^2 + 3 } & = \sqrt{19} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 2p^2 + 3 & = 19 \\ 2p^2 & = 16 \\ p^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p^2 = 8 . \, \heartsuit $
*). Menentukan $ \vec{a} .\vec{b} \, $ dan panjang masing-masing vektor dengan diketahui $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$.
Perkalian dot nya :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = 1. (-1) + (p+1).3 + (p-1).(-3) \\ & = -1 + 3p + 3 - 3p + 3 \\ & = 5 \end{align} $
Panjang vektor masing-masing :
$ \begin{align} | \vec{a} | & = \sqrt{1^2 + (p+1)^2 + (p-1)^2 } \\ & = \sqrt{1 + p^2 + 2p + 1 + p^2 - 2p + 1 } \\ & = \sqrt{2p^2 + 3 } \\ | \vec{b} | & = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2 } \\ & = \sqrt{1 + 9 + 9 } \\ & = \sqrt{19} \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{5}{19} \, $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \sqrt{19} . \frac{5}{19} \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{5}{\sqrt{19}} \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 1 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{1}{\sqrt{19}} \\ \sqrt{2p^2 + 3 } & = \sqrt{19} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 2p^2 + 3 & = 19 \\ 2p^2 & = 16 \\ p^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p^2 = 8 . \, \heartsuit $
