dunia informa

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 4, maka nilai $ a + b \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 4 \\ \left| \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right| & = 4 \\ 4.(a+b) - 0 . (2a-b+c) & = 4 \\ 4.(a+b) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a + b & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 1 . \heartsuit $

Nomor 12

Hasil kali 3 suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 105. Jika jumlah tiga suku pertama tersebut adalah 15, maka selisih suku pertama dan suku ketiga barisan tersebut adalah .....

$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1) b \, \, \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah tiga suku pertama = 15
$\begin{align} s_3 & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 15 \\ 3(a+b) & = 15 \\ a + b & = 5 \\ u_2 & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Hasil kali tiga suku pertama = 105
$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (substitusi } u_2 = 5 ) \\ u_1.5.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (bagi 5 ) } \\ u_1 . u_3 & = 21 \\ u_1 . u_3 & = 3.7 \end{align}$
artinya nilai $ u_1 = 3 , \, u_3 = 7 \, $ atau $ u_1 = 7 , \, u_3 = 3 \, $ , tetapi memiliki selisih yang sama yaitu 7 - 3 = 4 .
Jadi, selisih suku pertama dan ketiga adalah 4. $ \heartsuit $
Catatan : dari nilai $ u_2 = 5 \, $ dan $ u_1.u_3 = 21 \, $ , bisa ditentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ terlebih dahulu, kemudian kita tentukan nilai suku pertama dan ketiganya.

Nomor 13

Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_1+u_2+u_3+...=3 $ , dan $u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} $ , maka nilai $ r \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....= \frac{1}{3} \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = \frac{1}{3} \\ \frac{ar^2}{1-r} & = \frac{1}{3} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 3ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 3ar^2 & = (1-r) \\ 3.[3(1-r)]r^2 & = (1-r) \\ 9(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 9r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{9} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \frac{1}{3} \, $ atau $ r = - \frac{1}{3} . \heartsuit $

Nomor 14

Parabola $ y = x^2 - 2x + m + 2 \, $ mempunyai titik puncak ($p,q$). Jika $ 3p \, $ dan $ q \, $ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai $ m \, $ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar fungsi kuadrat : $ y = ax^2 + bx + c $
*) titik puncak : ($x_p,y_p$)
$ x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a} $
**) Jumlah deret tak hingga geometri : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat : $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ a = 1, \, b = -2, \, c = m + 2 $
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (p,q) $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan $ q \, $ dan $ m \, $ dari $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ (x_p,y_p) = (p,q) \, $ , artinya $ x_p = p = 1 \, $ dan $ y_p = q $
$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + m + 2 \\ q & = m + 1 \\ m & = q - 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari $ 3p, \, q, \, .... $
dengan $ p =1 , \, $ barisannya menjadi : $ 3, \, q , \, .... $
sehingga : $ a = 3 , \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{q}{3} $
Jumlah tak hingganya = 9
$\begin{align} s_\infty & = 9 \\ \frac{a}{1-r} & = 9 \\ a & = 9 (1-r) \\ 3 & = 9 ( 1- \frac{q}{3} ) \\ 3 & = 9 - 3q \\ q & = 2 \end{align} $
pers(i) : $ m = q - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ m = 1 . \heartsuit $

Nomor 15

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada 53000 sebanyak ...

$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 5, 7
Total atau banyaknya kupon yang terbentuk dari angka-angka 1, 3, 3, 5, 7 ada $ \frac{5!}{2!} = 5.4.3 = 60 \, $ kupon.
$\spadesuit \, $ Dari pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 15 , banyak kupon yang lebih besar daripada 53000 ada 21 kupon, sehingga banyak kupon yang lebih kecil atau kurang daripada 53000 ada :
Banyaknya = total kupon - kupon lebih dari 53000 = 60 - 21 = 39 kupon.
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang kurang dari 53000. $\heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika $ 1 < a < 2 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-6x}{-x^2 + 2ax - 5 } > 0$ adalah ...

$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -x^2 + 2ax - 5 $
$D=b^2-4ac=(2a)^2-4.(-1).(-5)=4a^2-20 \, , $
diperoleh $ D = 4a^2-20 $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 1 < a < 2 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$-x^2 + 2ax - 5 \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=-1 < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -x^2 + 2ax - 5 \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -x^2 + 2ax - 5 \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2-6x}{-x^2 + 2ax - 5 } > 0 \rightarrow \frac{x(x-6)}{1} > 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=6 \end{align}$

Karena yang diminta $ > 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < 0 \vee x > 6 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.

Nomor 7

Seorang anak melihat dua balon udara di angkasa. Balon udara pertaman berada 10 meter di atas permukaan tanah dan semakin tinggi dengan kecepatan 15 meter per menit. Balon udara kedua berada 120 meter di atas permukaan tanah dan semakin rendah dengan kecepatan 20 meter per menit. Pada saat tinggi balon kedua sama dengan dua kali tinggi balon pertama, maka tinggi balon pertama adalah ....

$\clubsuit \, $ Gambarnya

Balon I semakin tinggi dan balon II semakin rendah.
$\clubsuit \, $ Konsep dasar jarak
Jarak = kecepatan $ \times \, $ waktu
Pada kasus ini, jarak yang dimaksud adalah tinggi dari balon (Ti)
Sehingga rumus Tinggi : $ Ti = v \times t $
keterangan :
$ Ti \, $ = tinggi balon dari permukaan tanah
$ v \, $ = kecepatan dan $ t \, $ = waktu
$\clubsuit \, $ Menentukan tinggi kedua balon
*) Balon I : Ti (awal) = 10 m, v = 15 (naik)
Tinggi akhir balon I : Ti(1) = Ti(awal) + $ vt \, $ = 10 + 15t
*) Balon II : Ti (awal) = 120 m, v = -20 (turun)
Tinggi akhir balon II : Ti(2) = Ti(awal) + $ vt \, $ = 120 - 20t
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ (waktu)
$\begin{align} \text{tinggi balon II } & = 2 \times \text{ tinggi balon I} \\ 120 - 20t & = 2 \times (10 + 15t) \\ 120 - 20t & = 20 + 30t \\ 50t & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ t & = 2 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan tinggi balon I saat $ t = 2 $
$\begin{align} \text{tinggi balon I } & = 10 + 15t \\ \text{Ti(1) } & = 10 + 15.2 \\ & = 10 + 30 \\ \text{Ti(1) } & = 40 \end{align} $
Jadi, tinggi balon I adalah 40 m . $\heartsuit$

Nomor 8

Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,

Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...

$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$

Nomor 9

Diketahui data berupa empat bilangan asli yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil. Jika median dan selisih antara data terbesar dengan data terkecil adalah 6, maka hasil kali data kedua dan ketiga yang mungkin adalah ....

$\clubsuit \, $ Misal datanya : $ a, \, b, \, c, \, d $
Median = jangkauan = 6
Median = $ \frac{b+c}{2} \rightarrow 6 = \frac{b+c}{2} \rightarrow b+c = 12 \, $ ...pers(i)
Jangkauan = $ d - a \rightarrow 6 = d-a \rightarrow d = a + 6 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan kemungkinan data dari pers(i) dan pers(ii)
karena datanya urut, maka haruslah $ a \leq b \leq c \leq d $
*) untuk $ b = 1 \, $ , maka nilai $ a = 1 \, $ dan $ c = 11 $
datanya : $ 1, 1, 11, 7 \, $ (TM)
*) untuk $ b = 2 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2 \} \, $ dan $ c = 10 $
datanya : $ 1, 2, 10, 7 \, $ (TM) dan $ 2, 2, 10, 8 \, $ (TM)
*) untuk $ b = 3 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 \} \, $ dan $ c = 9 $
datanya :
$ 1, 3, 9, 7 \, $ (TM) atau $ 2, 3, 9, 8 \, $ (TM) atau $ 3, 3, 9, 9 \, $ (M)
*) untuk $ b = 4 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4\} \, $ dan $ c = 8 $
datanya :
$ 1, 4, 8, 7 \, $ (TM) atau $ 2, 4, 8, 8 \, $ (M) atau $ 3, 4, 8, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 4, 8, 10 \, $ (M)
*) untuk $ b = 5 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4, 5 \} \, $ dan $ c = 7 $
datanya :
$ 1, 5, 7, 7 \, $ (M) atau $ 2, 5, 7, 8 \, $ (M) atau $ 3, 5, 7, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 5, 7, 10 \, $ (M) atau $ 5, 5, 7, 11 \, $ (M)
*) untuk $ b = 6 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4, 5, 6 \} \, $ dan $ c = 6 $
datanya :
$ 1, 6, 6, 7 \, $ (M) atau $ 2, 6, 6, 8 \, $ (M) atau $ 3, 6, 6, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 6, 6, 10 \, $ (M) atau $ 5, 6, 6, 11 \, $ (M) atau $ 6, 6, 6, 12 \, $ (M)
*) untuk $ b > 6 \, $ , maka tidak memenuhi karena nilai $ c < 6 \, $
(seharusnya $ b \leq c \, $ ).
Keterangan : TM = Tidak Memenuhi dan M = Memenuhi.
$\clubsuit \, $ Hasil kali data kedua dan ketiga adalah perkalian $ b \, $ dan $ c \, $ .
Dari data yang memenuhi (M) di atas, ada beberapa kemungkinan nilai $ b \, $ dan $ c \, $ yaitu :
i) $ b =3, \, c = 9 \, $ perkaliannya = 3 $ \times \, $ 9 = 27
ii) $ b =4, \, c = 8 \, $ perkaliannya = 4 $ \times \, $ 8 = 32
iii) $ b =5, \, c = 7 \, $ perkaliannya = 5 $ \times \, $ 7 = 35
iv) $ b =6, \, c = 6 \, $ perkaliannya = 6 $ \times \, $ 6 = 36
Sehingga perkalian bilangan kedua dan ketiga yang mungkin adalah 27, 32, 35, dan 36.
Jadi, perkalian yang mungkin : 27, 32, 35, 36 (opsi B). $ \heartsuit $

Nomor 10

Jika $f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} $ , maka nilai $ f^{-1} (-2) \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
Sehingga : $ f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} \rightarrow \frac{1}{x-1} = f^{-1} \left( \frac{x-6}{x+3} \right) $
misalkan hasilnya : $ f^{-1} (-2) = a $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{1}{x-1} & = f^{-1} \left( \frac{x-6}{x+3} \right) \\ a & = f^{-1} (-2) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & a = \frac{1}{x-1} \, \, \text{ dan } \, \, \frac{x-6}{x+3} = -2 \\ \frac{x-6}{x+3} = -2 \rightarrow x-6 & = -2x - 6 \\ 3x & = 0 \\ x & = 0 \\ a = \frac{1}{x-1} \rightarrow a & = \frac{1}{0-1} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{1}{-1} = -1 \end{align} $
sehingga nilai $ a = -1 \, $ yang artinya $ f^{-1} (-2) = a = -1 $
Jadi, nilai $ f^{-1} (-2) = -1 . \heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013

Nomor 1

Jika $ 27^m = 8 \, $ , maka $ 3.9^m - 3^{m+1} = ...$

$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 27^m & = 8 \\ (3^3)^m & = 2^3 \\ (3^m)^3 & = 2^3 \\ 3^m & = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 3.9^m - 3^{m+1} & = 3.(3^2)^m - 3^1.3^m \\ & = 3.(3^m)^2 - 3.3^m \, \, \, \, \text{ (substitusi } 3^m = 2 ) \\ & = 3.(2)^2 - 3.2 \\ & = 3.4 - 3.2 = 12 - 6 \\ 3.9^m - 3^{m+1} & = 6 \end{align}$
Jadi, $ 3.9^m - 3^{m+1} = 6 . \heartsuit $

Nomor 2

Jika $ {}^5 \log a + {}^5 \log b = 3 \, $ dan $ 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b = 1 \, $ , maka nilai $ \frac{b}{a} \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
2). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^5 \log a + {}^5 \log b & = 3 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 3)} \\ {}^5 \log ab & = 3 \, \, \, \, \, \text{(definisi)}\\ ab & = 5^3 \\ b & = \frac{5^3}{a} \, \, \, \, \, \text{ ....pers(i)} \\ \end{align} $
Persamaan kedua :
$\begin{align} 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 1)} \\ {}^5 \log a^3 - {}^5 \log b & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 2)} \\ {}^5 \log \frac{a^3}{b} & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (definisi)} \\ \frac{a^3}{b} & = 5^1 \\ a^3 & = 5b \, \, \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a^3 & = 5b \\ a^3 & = 5.\frac{5^3}{a} \\ a^4 & = 5^4 \\ a & = 5 \end{align} $
pers(i) : $ b = \frac{5^3}{a} = \frac{5^3}{5} = 25 $
Sehingga nilai $ \frac{b}{a} = \frac{25}{5} = 5 $
Jadi, nilai $ \frac{b}{a} = 5 . \heartsuit $

Cara II : Langsung eliminasi kedua persamaan
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{cc} {}^5 \log a + {}^5 \log b = 3 & \\ 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b = 1 & + \\ \hline 4({}^5 \log a ) = 4 & \\ {}^5 \log a = 1 & \\ a = 5^1 = 5 & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b \, $ dari pers(i) dan $ {}^5 \log a = 1 $
$\begin{align} {}^5 \log a + {}^5 \log b & = 3 \\ 1 + {}^5 \log b & = 3 \\ {}^5 \log b & = 2 \\ b & = 5^2 = 25 \end{align} $
Sehingga nilai $ \frac{b}{a} = \frac{25}{5} = 5 $
Jadi, nilai $ \frac{b}{a} = 5 . \heartsuit $

Nomor 3

Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + (c-4) = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 , \, $ maka .....
(A) $ c < 1 \, $ atau $ c \geq 5 $
(B) $ 1 < c \leq 5 $
(C) $ -1 \leq c \leq 5 $
(D) $ c > 1 $
(E) $ c \leq 5 $

$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 - 2x + (c-4) = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -2 , \, c = (c-4) $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c-4}{1} = c-4 $
$\clubsuit \, $ Modifikasi akar-akarnya : $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 $
$ x_1 > -1 \rightarrow x_1+1 > 0 \, $ (positif)
$ x_2 > -1 \rightarrow x_2+1 > 0 \, $ (positif)
Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (positif kali positif)
$\begin{align} (x_1+1)(x_2+1) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + (x_1+x_2) + 1 & > 0 \\ (c-4) + (2) + 1 & > 0 \\ c & > 1 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena akar-akarnya $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 \, $ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(c-4) & \geq 0 \\ 4 - 4c + 16 & \geq 0 \\ - 4c & \geq -20 \, \, \, \, \, \text{ (bagi -4, tanda dibalik)} \\ c & \leq 5 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$
Solusinya harus memenuhi keduanya, yaitu irisannya.
Solusi : $ HP = HP1 \cap HP2 = \{ 1 < c \leq 5 \} $
Jadi, solusinya HP $ = \{ 1 < c \leq 5 \} . \heartsuit $

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $

Nomor 5

Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...

$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 323 tahun 2013

Pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 1 sampai 10 sama dengan kode 228 yaitu pembahasan soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 1 sampai 5 dan pembahasan soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 6 sampai 10 , artinya teman-teman bisa langsung melihat pembahasan kode 228 dari nomor satu sampai 10 langsung.
Semoga bermanfaat. terima kasih.

Nomor 11

Jika $A=\left( \begin{matrix} -2 & -1 & 2 \\ a & b & c \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 10, maka nilai $ 2b -a \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} -2 & -1 & 2 \\ a & b & c \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -5 & 0 \\ a+b-c & a - 2b \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ 2b - a $ :
$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 10 \\ \left| \begin{matrix} -5 & 0 \\ a+b-c & a-2b \end{matrix} \right| & = 10 \\ (-5).(a-2b) - 0 . (a+b-c) & = 10 \\ (-5).(a-2b) - 0 & = 10 \\ (-5).(a-2b) & = 10 \\ 5(2b-a) & = 10 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 2b-a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2b - a = 2. \heartsuit $

Nomor 12

Misalkan $ a, \, 8, \, c, \, d \, $ merupakan suatu barisan aritmetika dan $ a, \, 8, \, d \, $ merupakan barisan geometri, maka nilai $ a + c+ d \, $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, 8, \, c, \, d \, $
*) Barisan aritmetika : $ a, \, 8, \, c $
Selisih sama : $ 8-a = c-8 \rightarrow a + c = 16 \, $ .....pers(i)
**) Barisan aritmetika : $ 8, \, c, \, d \, $
Selisih sama : $ c-8 = d-c \rightarrow c = \frac{8+d}{2} \, $ .....pers(ii)
***) Barisan geometri : $ a, \, 8, \, d \, $
Rasio sama : $ \frac{8}{a} = \frac{d}{8} \rightarrow ad = 64 \, $ .....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} a + c & = 16 \\ a + \frac{8+d}{2} & = 16 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2a + 8 + d & = 32 \\ a & = \frac{24 - d}{2} \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} ad & = 64 \\ \frac{24 - d}{2}.d & = 64 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ (24-d)d & = 128 \\ 24d-d^2 & = 128 \\ d^2 - 24d + 128 & = 0 \\ (d-8)(d-16) & = 0 \\ d = 8 \vee d & = 16 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Berdasarkan pers(i) : $ a + c = 16 \, $ dan $ d = 8 \vee d = 16 $
$\begin{align} d = 8 \rightarrow a + c + d & =(a+c)+d= 16 + 8 = 24 \\ d = 16 \rightarrow a + c + d & =(a+c)+d= 16 + 16 = 32 \end{align}$
Jadi, nilai $ a+c+d \, $ adalah 24 atau 32. $ \heartsuit $

Nomor 13

Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_1+u_2+u_3+...=3 $ , dan $u_3+u_4+u_5 + ....=1 $ , maka nilai $ r $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
Suku ke-n : $u_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....=1 \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....=1 \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 1 \\ \frac{ar^2}{1-r} & = 1 \\ ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar^2 & = (1-r) \\ 3(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 3r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{3} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \, $ atau $ r = - \frac{1}{\sqrt{3}} . \heartsuit $

Nomor 14

Parabola $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 \, $ mempunyai titik puncak ($p,q$). Jika $ 2p \, $ dan $ \frac{q}{4} \, $ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai $ m \, $ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar fungsi kuadrat : $ y = ax^2 + bx + c $
*) titik puncak : ($x_p,y_p$)
$ x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a} $
**) Jumlah deret tak hingga geometri : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat : $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 $
$ a = 1, \, b = -2, \, c = 3m - 1 $
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (p,q) $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan $ q \, $ dan $ m \, $ dari $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 $
$ (x_p,y_p) = (p,q) \, $ , artinya $ x_p = p = 1 \, $ dan $ y_p = q $
$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + 3m - 1 \\ q & = 3m - 2 \\ m & = \frac{q+2}{3} \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari $ 2p, \, \frac{q}{4}, \, .... $
dengan $ p =1 , \, $ barisannya menjadi : $ 2, \, \frac{q}{4}, \, .... $
sehingga : $ a = 2 , \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{q}{4}}{2} = \frac{q}{8} $
Jumlah tak hingganya = 4
$\begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ a & = 4 (1-r) \\ 2 & = 4 ( 1- \frac{q}{8} ) \\ 2 & = 4 - \frac{q}{2} \\ q & = 4 \end{align} $
pers(i) : $ m = \frac{q+2}{3} = \frac{4+2}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Jadi, nilai $ m = 2 . \heartsuit $

Nomor 15

$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 5, 7
kode lebih besar daripada 53000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :

Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 5 dan ribuannya angka 3 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 3, 7 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 53137, 53173, 53317, 53371, 53713, dan 53731.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 53000. $\heartsuit $

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 11 sampai 15

Soal dan pembahasan SBMPTN matematika dasar kode 228 tahun 2013 dari nomor 11 sampai nomor 15 sama persis dengan soal SBMPTN matematika dasar kode 326 tahun 2013 dari nomor 11 sampai nomor 15 . Tetapi tetap kami tampilkan di sini agar teman-teman tidak perlu bolak-balik mengunjungi pembahasan soal kode 326 dan agar nomr soal tetap komplit dari nomor 1 sampai 15. Semoga bermanfaat.

Nomor 11

Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah ...

$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $3a^2 - 20a$ :
$\begin{align*} \text{Det}(AB) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right| & = 0 \\ (3a+3)(a+7)-11(4a+1) & = 0 \\ (3a^2+24a+21) - (44a+11) & = 0 \\ 3a^2-20a+10 & = 0 \\ 3a^2 - 20a & = -10 \end{align*} $
Jadi, nilai $ 3a^2 - 20a = -10. \, \heartsuit $

Nomor 12

Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...

$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $

Nomor 13

Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...

$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $

Nomor 14

Parabola $y=x^2-(2k+1)x+3k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(2k+1)x+3k $
$y=x^2-(2k+1)x+3k \Rightarrow c=0^2-(2k+1).0+3k \Rightarrow c = 3k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $x^2-(2k+1)x+3k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(2k+1))}{1} \Leftrightarrow a+b = 2k + 1 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ , selisihnya sama :
$\begin{align*} (2c-4) - 3a & = (3b+1) - (2c-4) \\ (2c-4) + (2c-4) & = (3b+1) + 3a \\ 4c-8 & = 3(a+b) + 1 \, \, \text{(gunakan pers(i) dan } \, c = 3k )\\ 4(3k)-8 & = 3 (2k+1) + 1 \\ 12k - 8 & = 6k + 3 + 1 \\ 6k & = 4 + 8 \\ k & = \frac{12}{6} = 2 \end{align*} $
Jadi, nilai $k=2 . \heartsuit $

Nomor 15

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 62000 sebanyak ...

$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 2, 2, 6, 8
kode lebih besar daripada 62000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :

Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 6 dan ribuannya angka 2 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 2, 8 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 62128, 62182, 62218, 62281, 62812, dan 62821.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 62000. $\heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0$ adalah ...

$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2+2x-3a$
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.1.(-3a)=4+12a \, , $ diperoleh $ D = 4 + 12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2+2x-3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2+2x-3a \, $ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2+2x-3a$ bisa dicoret (tanda ketaksamaan tidak dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0 \rightarrow \frac{1}{x(x+4)}\geq 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=-4 \end{align}$

Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} \, $ . Meskipun ada sama dengannya ( $ \geq 0 $) , tetapi akar penyebut wajib tidak boleh ikut karena penyebut tidak boleh bernilai nol.
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit negatif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $ ), maka tanda ketaksamaan dibalik.

Nomor 7

Pada tahun 2010 populasi sapi di kota A adalah 1.600 ekor dan di kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah ....

$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = a+ (n-1)b $
Kasus pada soal ini merupakan barisan aritmetika karena peningkatannya selalu sama setiap bulan.
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan
*) Kota A : $ a = 1600, \, b =25 $
$ u_n (A) = 1600 + (n-1)25 $
**) Kota B : $ a = 500, \, b = 10 $
$ u_n (B) = 500 + (n-1)10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n \, $ (bulan)
$\begin{align} \text{Populasi kota A} & = 3 \times \text{kota B} \\ 1600 + (n-1)25 & = 3 \times (500 + (n-1)10) \\ 1600 + (n-1)25 & = 1500 + (n-1)30 \\ 1600 + 25n - 25 & = 1500 + 30n-30 \\ n & = 21 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan populasi kota B saat $ n = 21 $
$\begin{align} u_n (B) & = 500 + (n-1)10 \\ & = 500 + (21-1)10 \\ & = 500 + 200 = 700 \end{align} $
Jadi, banyak populasi kota B ada 700 ekor . $\heartsuit$

Nomor 8

Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,

Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...

Nomor 9

Banyak siswa kelas XI A suatu sekolah adalah $ m \, $ siswa. Mereka mengikuti tes matematika dengan hasil sebagai berikut. Lima siswa memperoleh skor 90, siswa yang lain memperoleh skor minimal 60, dan rata-rata skor semua siswa adalah 70. Nilai $ m \, $ terkecil adalah ....

$\clubsuit \, $ Konsep rata-rata gabungan : $ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2}{n_1+n_2} $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 90, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, \, \overline{X}_\text{gb} = 70 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 70 & \geq \frac{5.90 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 70 & \geq \frac{450 + 60m-300 }{m} \\ 70m & \geq 60m + 150 \\ 10 m & \geq 150 \\ m & \geq 15 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 15 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 15 $ .
Jadi, nilai $ m \, $ terkecil adalah $ m = 15. \heartsuit $

Nomor 10

Jika $f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} $ , maka nilai $a \, $ sehingga $f(a)=-4 \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
Sehingga : $ f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} \rightarrow \frac{x+5}{x-5} = f \left( \frac{8}{x+5} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{x+5}{x-5} & = f \left( \frac{8}{x+5} \right) \\ -4 & = f(a) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{x+5}{x-5} = -4 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{8}{x+5} \\ \frac{x+5}{x-5} = -4 \rightarrow x+5 & = -4x + 20 \\ 5x & = 15 \\ x & = 3 \\ a = \frac{8}{x+5} \rightarrow a & = \frac{8}{3+5} \, \, \, \text{(substitusi } x = 3 ) \\ a & = \frac{8}{8} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013

Nomor 1

Jika $4^{m+1}+4^m = 15 \, $ , maka $8^m = ...$

$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n}; \, \, \, \, a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 4^{m+1}+4^m &= 15 \\ 4^1 . 4^m + 4^m & = 15 \\ 4. 4^m + 4^m & = 15 \\ (4 +1) 4^m & = 15 \\ 5. 4^m & = 15 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 4^m & = 3 \\ (2^2)^m & = 3 \\ 2^{2m} & = 3 \\ (2^m)^2 & = 3 \\ 2^m & = \sqrt{3} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $8^m$
$\begin{align} 8^m & = (2^3)^m \\ &= (2^m)^3 \\ &= (\sqrt{3})^3 \\ &= \sqrt{3} .\sqrt{3} .\sqrt{3} \\ &= 3\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, $8^m = 3\sqrt{3}. \, \heartsuit $

Nomor 2

Jika $ \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } = 2 $ dan ${}^{xy}\log w = \frac{2}{5} $ , maka nilai $\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } \, $ adalah ...

$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log x & = 2 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ {}^{xy}\log w & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log (xy) & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(dari pers(i))} \\ 2 + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \\ {}^w \log y & = \frac{5}{2} - 2 \\ {}^w \log y & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^y \log w & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } & = {}^y \log w \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } = 2 . \heartsuit $

Nomor 3

Jika selisih akar-akar $ x^2 + 2cx + (19+c) = 0 \, $ adalah 2, maka nilai $ 30 + c - c^2 \, $ adalah ....

$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 + 2cx + (19+c) = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = 2c , \, c = (19+c) $
Konsep selisih akar : $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
$\clubsuit \, $ Selisih akar-akarnya = 2
$\begin{align} x_1 - x_2 & = 2 \\ \frac{\sqrt{D}}{a} & = 2 \\ \sqrt{D} & = 2 a \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ D & = 4a^2 \\ b^2 - 4ac & = 4a^2 \\ (2c)^2 - 4.1.(19+c) & = 4. 1^2 \\ 4c^2 - 4(19+c) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ c^2 - 19 - c & = 1 \\ c^2 - c & = 20 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 30 + c - c^2 & = 30 - ( c^2 - c ) \\ & = 30 - ( 20) = 10 \end{align}$
Jadi, nilai $ 30 + c - c^2 = 10 . \heartsuit $

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

Nomor 5

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu