Nomor 1
Jika diketahui $x<0$ , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} x^2-ax+2014=0 \\ x^2-2014x+a=0 \end{array} \right.$ , adalah ...
$\clubsuit \, $ Kurangkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} x^2-ax+2014=0 & \\ x^2-2014x+a=0 & - \\ \hline (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 & \end{array} $
Bentuk $ (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 \, \, \, $ mempunyai penyelesaian hanya untuk $ x = -1 $
Cara :
$ \begin{align} (-a+2014)x+(-a+2014) & = 0 \\ (-a+2014)x & = - (-a+2014) \\ x & = \frac{- (-a+2014)}{(-a+2014)} \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, banyaknya penyelesaian ada satu solusi nilai $ x $ yaitu $ x = -1 . \heartsuit $
$\begin{array}{cc} x^2-ax+2014=0 & \\ x^2-2014x+a=0 & - \\ \hline (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 & \end{array} $
Bentuk $ (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 \, \, \, $ mempunyai penyelesaian hanya untuk $ x = -1 $
Cara :
$ \begin{align} (-a+2014)x+(-a+2014) & = 0 \\ (-a+2014)x & = - (-a+2014) \\ x & = \frac{- (-a+2014)}{(-a+2014)} \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, banyaknya penyelesaian ada satu solusi nilai $ x $ yaitu $ x = -1 . \heartsuit $
Nomor 2
Nilai $a$ yang memenuhi $\frac{1}{{}^{10}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}\log a}+...=200$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Sifat : ${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Definisi : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
Geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^m = b \rightarrow a = b^\frac{1}{m} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \frac{1}{{}^{10}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}log a}+... & = 200 \\ {}^a \log 10 + {}^a \log \sqrt{10} + {}^a \log \sqrt{\sqrt{10}} + ... & = 200 \\ {}^a \log 10^1 + {}^a \log 10^\frac{1}{2} + {}^a \log 10^\frac{1}{4} + ... & = 200 \\ {}^a \log (10^1.10^\frac{1}{2}.10^\frac{1}{4}....) & = 200 \\ {}^a \log 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+....} & = 200 \\ {}^a \log 10^{s_\infty} & = 200 \\ {}^a \log 10^{\frac{1}{1-\frac{1}{2}}} & = 200 \\ {}^a \log 10^2 & = 200 \\ 2.{}^a \log 10 & = 200 \\ {}^a \log 10 & = 100 \\ a^{100} & = 10 \\ a & = 10^\frac{1}{100} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 10^\frac{1}{100} . \heartsuit $
Sifat : ${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Definisi : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
Geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^m = b \rightarrow a = b^\frac{1}{m} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \frac{1}{{}^{10}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}log a}+... & = 200 \\ {}^a \log 10 + {}^a \log \sqrt{10} + {}^a \log \sqrt{\sqrt{10}} + ... & = 200 \\ {}^a \log 10^1 + {}^a \log 10^\frac{1}{2} + {}^a \log 10^\frac{1}{4} + ... & = 200 \\ {}^a \log (10^1.10^\frac{1}{2}.10^\frac{1}{4}....) & = 200 \\ {}^a \log 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+....} & = 200 \\ {}^a \log 10^{s_\infty} & = 200 \\ {}^a \log 10^{\frac{1}{1-\frac{1}{2}}} & = 200 \\ {}^a \log 10^2 & = 200 \\ 2.{}^a \log 10 & = 200 \\ {}^a \log 10 & = 100 \\ a^{100} & = 10 \\ a & = 10^\frac{1}{100} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 10^\frac{1}{100} . \heartsuit $
Nomor 3
Malik dan Ali melakukan permainan lempar anak panah. Malik melempar tepat sasaran dengan peluang 0,65 , sedangkan Ali melempar tepat
sasaran dengan peluang 0,45. Malik memenangkan permainan jika Malik melempar tepat sasaran dan Ali tidak mengenai sasaran. Sebaliknya,
Ali menang jika Ali melempar tepat sasaran dan Malik tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang bahwa permainan akan
berakhir seri adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(M)$ : Peluang Malik tepat sasaran , $P(M^c)$ : Peluang Malik tidak tepat sasaran.
$P(A)$ : Peluang Ali tepat sasaran , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak tepat sasaran .
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(M)=0,65 \Rightarrow P(M^c)=1-P(M)=1-0,65=0,35 $
$P(A)=0,45 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,55 $
$\clubsuit \, $ Ada empat kemungkinan permainan :
i). Malik menang dan Ali kalah ($P(M).P(A^c)$)
ii). Malik kalah dan Ali menang ($P(M^c).P(A)$)
iii). Seri : keduanya tepat sasaran ($P(M).P(A)$)
iv). Seri : keduanya tidak tepat sasaran ($P(M^c).P(A^c)$)
Sehingga peluang seri adalah
$P(Seri) = P(M).P(A) + P(M^c).P(A^2) $
$ P(Seri) = 0,65 \times 0,45 + 0,35 \times 0,55 = 0,4850 $
Jadi, peluang permainan seri adalah 0,4850. $ \heartsuit $
Permisalan :
$P(M)$ : Peluang Malik tepat sasaran , $P(M^c)$ : Peluang Malik tidak tepat sasaran.
$P(A)$ : Peluang Ali tepat sasaran , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak tepat sasaran .
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(M)=0,65 \Rightarrow P(M^c)=1-P(M)=1-0,65=0,35 $
$P(A)=0,45 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,55 $
$\clubsuit \, $ Ada empat kemungkinan permainan :
i). Malik menang dan Ali kalah ($P(M).P(A^c)$)
ii). Malik kalah dan Ali menang ($P(M^c).P(A)$)
iii). Seri : keduanya tepat sasaran ($P(M).P(A)$)
iv). Seri : keduanya tidak tepat sasaran ($P(M^c).P(A^c)$)
Sehingga peluang seri adalah
$P(Seri) = P(M).P(A) + P(M^c).P(A^2) $
$ P(Seri) = 0,65 \times 0,45 + 0,35 \times 0,55 = 0,4850 $
Jadi, peluang permainan seri adalah 0,4850. $ \heartsuit $
Nomor 4
Parabola $y=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak di $(p,p)$ dan titik potong terhadap sumbu $y$ di $(0,-p)$ . Jika $p\neq 0$, maka $b$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ($0,-p$) ke $ y=ax^2+bx+c$
$ y=ax^2+bx+c \rightarrow -p = a.0^2 + b.0 + c \rightarrow c = -p $
Sehingga parabolanya menjadi : $ y=ax^2+bx+-p \, $ ....(i)
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ($p,p$) ke bentuk (i)
$\begin{align} (p,p) \rightarrow y & =ax^2+bx+-p \\ p & =a.p^2+b.p+-p \\ ap^2+bp & = 2p \\ ap^2+bp - 2p & = 0 \\ p(ap+b-2) & = 0 \\ p = 0 \vee ap + b -2 & = 0 \end{align}$
karena $ p \neq 0, \, $ maka yang memenuhi adalah $ ap+b-2 =0 \, $
atau $ ap + b = 2 \, $ ...(ii)
$\spadesuit \, $ Titik puncak $ (x_p, y_p ) = (p,p) \, $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} y=ax^2+bx+-p \rightarrow x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-b}{2a} \\ ap & = \frac{-b}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ ap = \frac{-b}{2} \, $ ke bentuk (ii)
$\begin{align} ap + b & = 2 \\ \frac{-b}{2} + b & = 2 \\ \frac{b}{2} & = 2 \\ b & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ b = 4. \heartsuit $
$ y=ax^2+bx+c \rightarrow -p = a.0^2 + b.0 + c \rightarrow c = -p $
Sehingga parabolanya menjadi : $ y=ax^2+bx+-p \, $ ....(i)
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ($p,p$) ke bentuk (i)
$\begin{align} (p,p) \rightarrow y & =ax^2+bx+-p \\ p & =a.p^2+b.p+-p \\ ap^2+bp & = 2p \\ ap^2+bp - 2p & = 0 \\ p(ap+b-2) & = 0 \\ p = 0 \vee ap + b -2 & = 0 \end{align}$
karena $ p \neq 0, \, $ maka yang memenuhi adalah $ ap+b-2 =0 \, $
atau $ ap + b = 2 \, $ ...(ii)
$\spadesuit \, $ Titik puncak $ (x_p, y_p ) = (p,p) \, $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} y=ax^2+bx+-p \rightarrow x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-b}{2a} \\ ap & = \frac{-b}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ ap = \frac{-b}{2} \, $ ke bentuk (ii)
$\begin{align} ap + b & = 2 \\ \frac{-b}{2} + b & = 2 \\ \frac{b}{2} & = 2 \\ b & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ b = 4. \heartsuit $
Nomor 5
Misalkan $a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} , b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}}\, $ dan $c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}}$.
Hubungan yang benar antara $a, b$ dan $c$ adalah ...
Cara I : Menentukan nilai pendekatan masing-masing
$\sqrt{124} = 11,... \, \, \sqrt{65} = 8,... $
$\sqrt[3]{124} = 4,... \, \, \sqrt[3]{65}= 4,... $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ketiga bilangan
$a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} = \sqrt[3]{11,...+8,...}= \sqrt[3]{19,...} = 2,... $
$b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}} = \sqrt{4,...+8,...}= \sqrt{12,...} = 3,... $
$c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}} = \sqrt{11,...+4,...} = \sqrt{15,...} $
Dari nilai ketiga bilangan, diperoleh hubungan : $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$
$\sqrt{124} = 11,... \, \, \sqrt{65} = 8,... $
$\sqrt[3]{124} = 4,... \, \, \sqrt[3]{65}= 4,... $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ketiga bilangan
$a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} = \sqrt[3]{11,...+8,...}= \sqrt[3]{19,...} = 2,... $
$b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}} = \sqrt{4,...+8,...}= \sqrt{12,...} = 3,... $
$c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}} = \sqrt{11,...+4,...} = \sqrt{15,...} $
Dari nilai ketiga bilangan, diperoleh hubungan : $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$
Cara II : Dengan konsep perpangkatan
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 $
$\clubsuit \, $ Ketiga bilangan dipangkatkan 6
$\begin{align} a^6 & =(\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt{65})^2 \\ & = 124 + 65 + 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} b^6 & =(\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt[3]{124}+\sqrt{65})^3 \\ & = 124 + 65\sqrt{65} + 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} c^6 & =(\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt[3]{65})^6 \\ & = 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan ketiga bilangan
Hubungan $ a^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124 + 65\sqrt{65} > 124 + 65 \, $ dan $ 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} > 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ b^6 > a^6 \, $ sehingga nilai $ b > a \, $ ....(i)
Hubungan $ c^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} > 124 + 65\sqrt{65} $
$ 3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} > 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ c^6 > b^6 \, $ sehingga nilai $ c > b \, $ ....(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh hubungan : $ c > b > a \, $ atau $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 $
$\clubsuit \, $ Ketiga bilangan dipangkatkan 6
$\begin{align} a^6 & =(\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt{65})^2 \\ & = 124 + 65 + 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} b^6 & =(\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt[3]{124}+\sqrt{65})^3 \\ & = 124 + 65\sqrt{65} + 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} c^6 & =(\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt[3]{65})^6 \\ & = 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan ketiga bilangan
Hubungan $ a^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124 + 65\sqrt{65} > 124 + 65 \, $ dan $ 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} > 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ b^6 > a^6 \, $ sehingga nilai $ b > a \, $ ....(i)
Hubungan $ c^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} > 124 + 65\sqrt{65} $
$ 3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} > 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ c^6 > b^6 \, $ sehingga nilai $ c > b \, $ ....(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh hubungan : $ c > b > a \, $ atau $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$
