Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} . \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{(1-x)-1} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{-x} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \frac{1}{-1} . (\sqrt{1-0}+1) \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah -2. $ \heartsuit $
Nomor 12
Kurva $y = x^3+6x^2-16 \, $ naik untuk nilai $x \, $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Fungsi naik , syarat : $f^\prime {x} > 0 $
$y = x^3+6x^2-16 \rightarrow y^\prime = 3x^2+12x $
$\begin{align} \text{Fungsi naik} \, \rightarrow y^\prime & > 0 \\ 3x^2+12x & > 0 \\ 3x(x+4) & > 0 \\ x=0 & \vee x = -4 \end{align}$
spmb_matdas_7_2004.png
Jadi, fungsi naik saat $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika kurva $y=2x^5-5x^4+20 \, $ mencapai minimum di titik $(x_0, \, y_0) \, $ , maka $x_0 = ....$
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $f^\prime (x) = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$y=2x^5-5x^4+20 \rightarrow y^\prime = 10x^4 - 20x^3 \, \, $ dan $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan $ y \, $ minimum
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 10x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 10x^3(x-2) & = 0 \\ x=0 & \vee x = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek turunan kedua : $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$x=0 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.0^3-60.0^2 = 0 \, \, $ (titik belok)
$x=2 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.2^3-60.2^2 = 320 - 240 = 80 > 0 \, \, $ (minimum)
artinya fungsi minimum saat $x=2 \, \, $ sehingga $x_0 = 2 $
Jadi, nilai $x_0 = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika garis $g \, $ menyinggung kurva $y=3\sqrt{x} \, $ di titik yang berabsis 1, maka garis $g \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung, substitusi $ x = 1 \, \, $ (absis)
$x=1 \rightarrow y=3\sqrt{x} = 3\sqrt{1} = 3 $
titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,3) $
$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung di titik (1,3) : $m=f^\prime (1) $
$ y=3\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
$m=f^\prime (1) \rightarrow m = \frac{3}{2\sqrt{1}} \rightarrow m = \frac{3}{2} $
$\clubsuit \,$ Persamaan garis singgung
$y-y_1 = m (x-x_1) \rightarrow y-3 = \frac{3}{2} ( x-1) \rightarrow 2y=3x+3 $
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu X, substitusi $y = 0 $
$ 2y=3x+3 \rightarrow 2.0=3x+3 \rightarrow 3x=-3 \rightarrow x=-1 $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-1,0) . \heartsuit $
Nomor 15
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} & \frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 10 - {}^5 \log 2 \right).\left( {}^5 \log 10 + {}^5 \log 2 \right)}{{}^5 \log 20^\frac{1}{2}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log \frac{10}{2} \right).\left( {}^5 \log 10.2 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 5 \right).\left( {}^5 \log 20 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai maksimum dari $f(x,y) = 10x+20y \, $ dengan kendala $x \geq 0, y \geq 0, x+4y \leq 120, x+y \leq 60 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar daerah penyelesaian dan titik potong kedua garis
$ x+4y \leq 120 \rightarrow (0,30), \, (120,0) $
$ x+y \leq 60 \rightarrow (0,60), \, (60,0) $
titik potong kedua garis dengan eliminasi
$\begin{array}{cc} x+4y = 120 & \\ x+y = 60 & - \\ \hline 3y = 60 \rightarrow y=20 \end{array} $
$x+y=60 \rightarrow x+20 = 60 \rightarrow x = 40 $
sehingga titik potong kedua garis : (40, 20)
spmb_matdas_4_2004.png
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $f(x,y) = 10x+20y $
A(60,0) $\rightarrow \, f = 10.60 + 20.0 = 600 $
B(40,20) $\rightarrow \, f = 10.40 + 20.20 = 800 $
C(0,30) $\rightarrow \, f = 10.0 + 20.30 = 600 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 800. $ \heartsuit $
Nomor 7
spmb_matdas_1_2004.png
Jika $\Delta$ABC siku-siku samakaki, AC = BC = 4, dan AD = CE, maka luas minimum dari segiempat ABED adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan : CE = $x $ , maka AD = $x $ , dan CD = $4-x$
$\begin{align} L_{ABED} \, & = L_{ABC} - L_{CDE} \\ L & = \frac{1}{2}.4.4 - \frac{1}{2}.x.(4-x) \\ L & = 8-2x+\frac{1}{2}x^2 \\ L^\prime & = -2+x \end{align} $
$\clubsuit \, $ Luas minimum : $L^\prime = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$L^\prime = 0 \rightarrow -2+x = 0 \rightarrow x = 2 $
sehingga : $ L = 8-2x+\frac{1}{2}x^2 = 8-2.2+\frac{1}{2}.2^2 = 8-4+2 = 6 $
Jadi, luas minimumnya adalah 6 . $ \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Untuk keadaan seperti gambar
Luas minimumnya : $L_{ABED} = \frac{3}{4}. L_{ABC} $
$L = \frac{3}{4}. L_{ABC} = \frac{3}{4}. \frac{1}{2} . 4. 4 = 6 $
Jadi, luas minimumnya adalah 6 . $ \heartsuit$
Nomor 8
Jika $2\tan ^2 x + 3 \tan x - 2 = 0, \, \frac{1}{2}\pi < x < \pi, \, $ maka $\sin x + \cos x = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan x $
$\begin{align*} 2\tan ^2 x + 3 \tan x - 2 & = 0 \\ (2\tan x -1)(\tan x + 2) & = 0 \\ \tan x = \frac{1}{2} & \vee \tan x = -2 \end{align*}$
Karena $x \, $ dikuadran II , maka nilai $\tan x \, \, $ harus negatif, sehingga yang memenuhi adalah $\tan x = -2 \, \, \, $ atau $ \tan x = -\frac{2}{1} $
spmb_matdas_5_2004.png
Sehingga nilai :
$\sin x + \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5} $
Jadi, nilai $\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \sqrt{5} . \heartsuit$
Nomor 9
Pada $\Delta$ ABC diketahui D adalah titik tengah AC. Jika BC = $a $ , AC = $b $ , dan BD = $d $ , maka $d^2 = ....$
$\clubsuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2004.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada segitiga ABD
$\begin{align*} d^2 & = c^2+(\frac{1}{2}b)^2 - 2. c.(\frac{1}{2}b) . \cos A \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc \cos A \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada segitiga ABC
$\begin{align*} a^2 & = b^2+c^2 - 2. b.c . \cos A \\ \cos A & = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align*} d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc \cos A \, \, \, \text{...pers(i)} \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc .\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}b^2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ d^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}b^2 . \heartsuit$
Nomor 10
$\displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} = .... $
$\spadesuit \, $ Memfaktorkan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x+3}{x-2} \\ & = \frac{-2+3}{-2-2} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = -\frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -\frac{1}{4} . \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Menggunakan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{2x+5}{2x} \\ & = \frac{2.(-2)+5}{2.(-2)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = -\frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -\frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004


Nomor 1
Nilai $x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
$ (a^n)^m = a^{n.m} \, \, $ dan $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} & = 1 \\ 0,09^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ ((0,3)^2)^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ 0,3^{(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ x-3 & = 3x+1 \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -2. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $n \, $ bilangan bulat, maka : $\frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ (ab)^n = a^n . b^n , \, \, a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, \, $ dan $ a^{m+n}=a^m.a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} & = \frac{2^n.2^2.\frac{6^n}{6^4}}{\frac{12^n}{12^1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.12^1}{12^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12^1}{(2.6)^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12}{2^n.6^n.6^4} \, \, \text{(coret } \, \, 2^n.6^n ) \\ & = \frac{4 \times 12}{6^4} = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{1}{27}. \heartsuit $
Nomor 3
Agar kurva $y=mx^2-2mx+m \, $ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^2-3 \, $ , maka konstanta $m \, $ memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Kurva $y_1=mx^2-2mx+m \, $ terletak di atas kurva $y_2=2x^2-3 \, $
Berlaku :
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ mx^2-2mx+m & > 2x^2-3 \\ (m-2)x^2-2mx+(m+3) & > 0 \\ a=m-2 , \, b = -2m , \, & c= m+3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Bentuk $ (m-2)x^2-2mx+(m+3) > 0 \, \, \, $ adalah definit positif syarat : $a>0 \, $ dan $ D < 0$
Syarat I : $a>0 \rightarrow m-2>0 \rightarrow m>2 \, \, $ ... HP1
$\begin{align*} \text{syarat II : } \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (-2m)^2-4.(m-2)(m+3) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2-4m+24 & < 0 \\ -4m & < -24 \\ m & > 6 \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align*}$
Sehingga, solusinya : HP = HP1 $\cap $ HP2 = $\{ m > 6 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ m > 6 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan garis dengan gradien 2 dan menyinggung parabol $ y = (x-1)^2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x) \, \, \, $ dengan $ m = 2 $
$ y = (x-1)^2 \rightarrow y^\prime = 2(x-1) $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2(x-1) \rightarrow x = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung dengan substiusi $x=2$
$x=2 \rightarrow y = (x-1)^2 = (2-1)^2 = 1 $
sehingga titik singgungnya : $(x_1,y_1) = (2,1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- 1 & = 2(x-2) \\ y-1 & = 2x - 4 \\ 2x - y -3 & = 0 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ 2x - y -3 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Penyelesaian pertidaksamaan : $ \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} < 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pecahan
$\begin{align*} \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} & < 0 \\ \frac{(2x-3)(x+1)}{(x+2)(x-3)} & < 0 \\ x=\frac{3}{2}, \, x = -1, \, x= -2 , & x= 3 \end{align*}$
spmb_matdas_3_2004.png
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < -1 \vee \frac{3}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)