Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Nilai $x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12} \leq 0 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12} \leq 0 \\ \frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+4)} \leq 0 \\ x=2, \, x= 3, \, x = -4 \end{align}$
spmb_matdas_3_2005.png
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -4 < x < 3 \} . \heartsuit $
Nomor 22
Nilai maksimum dari $20x+8 \, $ untuk $x \, $ dan $y \, $ yang memenuhi $x+y \geq 20 , \, 0 \leq x \leq 20 \, $ dan $ 0 \leq y \leq 48 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
spmb_matdas_4_2005.png
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $z = 20x+8 $
$A(20,0) \rightarrow z=20.20 + 8 = 408 $
$B(20,48) \rightarrow z=20.20 + 8 = 408 $
$C(0,48) \rightarrow z=20.0 + 8 = 8 $
$D(0,20) \rightarrow z=20.0 + 8 = 8 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 408. $ \heartsuit $
Nomor 23
Jika sudut $\theta \, $ di kuadran IV dan $\cos \theta = \frac{1}{a} \, $ , maka $\sin \theta = .... $
$\spadesuit \, \theta \, \, $ dikuadran IV artinya nilai $\cos \, $ positif, sehingga untuk $\cos \theta = \frac{1}{a} \, $ , maka nilai $ a > 0 \, $ (positif)
spmb_matdas_5_2005.png
$\spadesuit \, $ Nilai $\sin \theta \, $ negatif karena di kuadran IV
$ \sin \theta = -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a} . \heartsuit $
Nomor 24
Bilangan bulat terkecil $n \, $ yang memenuhi $n \cos \frac{1}{6} \pi > 30 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $n$
$\begin{align} n \cos \frac{1}{6} \pi & > 30 \\ n \cos 30^\circ & > 30 \\ n . \frac{1}{2} \sqrt{3} & > 30 \\ n & > \frac{30}{\sqrt{3}} . 2 \\ n & > 20\sqrt{3} \\ n & > 34,64 \end{align}$
Jadi, nilai $n \, $ bulat terkecil adalah 35. $ \heartsuit $
Nomor 25
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x+ \tan x }{x} = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x+ \tan x }{x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x }{x} + \frac{ \tan x }{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} -1 + \frac{ \tan x }{x} \\ & = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $f(n) = 2^{n+2}6^{n-4} \, \, $ dan $g(n) = 12^{n-1} \, \, $ , $n \, $ bilangan asli, maka $\frac{f(n)}{g(n)} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$a^{m+n} = a^m.a^m , \, \, \, a^n.b^n = (a.b)^n , \, \, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\spadesuit \, $ Mederhanakan pecahannya
$\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{2^{n+2}6^{n-4}}{12^{n-1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.6^{-4}}{12^n.12^{-1}} \\ & = \frac{(2.6)^n.4.\frac{1}{6^{4}}}{12^n.\frac{1}{12^{1}}} = \frac{12^n. \frac{4}{6^4}}{12^n.\frac{1}{12}} = \frac{4}{6^4} . 12 \\ \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{1}{27} .\heartsuit $
Nomor 17
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $ \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}, \, \, \, (a^n)^m = a^{a.m}, \, \, \, a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} & = 1 \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ \sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,008)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (([0,2]^3)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,2)^{7-2x} & = (0,2)^{-4x+5} \\ 7-2x & = -4x+5 \\ 2x & = -2 \rightarrow x =-1 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -1. \heartsuit $
Nomor 18
Garis $x+y=4 \, $ memotong parabola $y=4x-x^2 \, $ di titik A dan B. Panjang ruas AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \\ (x-1)(x-4) & = 0 \\ x=1 \vee x=4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x\, $ ke garis
$x=1 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 1 + y = 4 \rightarrow y=3 $
sehingga titik A(1,3)
$x=4 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 4 + y = 4 \rightarrow y=0 $
sehingga titik B(4,0)
$\spadesuit \, $ Jarak AB :
$|AB| = \sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \end{align}$
$D=b^2-4ac = (-5)^2-4.1.4 = 9 \, \, \, $ dan nilai $ a =1 $
Garis : $ x + y = 4 \rightarrow y=-x+4 \, \, $ gradiennya $m = -1 $
$\spadesuit \, $ Jarak perpotongan kedua titik : $|AB| = \left| \frac{m}{a} \sqrt{2D} \right| $
sehingga : jarak $|AB| = \left| \frac{-1}{1} \sqrt{2.9} \right| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor 19
Parabola $y=ax^2+bx+c \, $ melalui titik (0,1) , (1,0) , dan (3,0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah ($p, \, q $ ) , maka $q = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik ke parabola
$(0,1) \rightarrow 1 = a.0^2+b.0+c \rightarrow c = 1 $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=ax^2+bx+1 $
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2+b.1+1 \rightarrow a+b = -1 \, \, \, $ ...pers(i)
$(3,0) \rightarrow 0 = a.3^2+b.3+1 \rightarrow 9a+3b = -1 \, \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 9a+3b = -1 & \text{kali 1 } & 9a+3b = -1 & \\ a+b = -1 & \text{kali 3 } & 3a+3b = -3 & - \\ \hline & & 6a = 2 \rightarrow a = \frac{1}{3} & \end{array} $
$a+b = -1 \rightarrow \frac{1}{3} + b = -1 \rightarrow b = -\frac{4}{3} $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak ($x_p , \, y_p $ )
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{\frac{4}{3}}{2.\frac{1}{3}} = 2 $
$y_p = f(x_p) = f(2) = \frac{1}{3}.2^2-\frac{4}{3}.2+1 = -\frac{1}{3} $
titik puncaknya : ($p, \, q ) = (2, \, -\frac{1}{3} ) $
Jadi, nilai $q = -\frac{1}{3}. \heartsuit $
Nomor 20
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+k=0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = -\frac{73}{24} \, \, $ , maka nilai $k \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{1} \rightarrow x_1+x_2 = -5 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} \rightarrow x_1.x_2 = k $
$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (-5)^2-2(k) \rightarrow x_1^2+x_2^2 = 25-2k $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$
$\begin{align} \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{25-2k}{k} & = -\frac{73}{24} \\ 24.(25-2k) & = -73k \\ 600 - 48k & = -73k \\ 73k-48k & = -600 \\ 25k & = -600 \rightarrow k = -24 \end{align}$
Jadi, nilai $k = -24. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, $ dan $B = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \, \, $ , maka $(A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \, \, $ adalah matriks ....
$\spadesuit \, $ Menentukan operasi matriks
$A + B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$A - B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & (A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) = 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right). \heartsuit $
Nomor 12
Nilai rata-rata suatu ulangan adalah 5,9. Empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata 7. Jika nilai rata-rata mereka setelah digabung menjadi 6, maka banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tadi adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan banyak orang pada kelas yang rata-ratanya 5,9 sebanyak $n$
Kelas dibagi menjadi dua kelompok :
Kelompok I : $n_1= n \, $ dan $\overline{x}_1=5,9 $
Kelompok II : $n_2= 4 \, $ dan $\overline{x}_2=7 $
Rata-rata gabungannya : $\overline{x}_{gb} = 6 $
$\clubsuit \, $ Menentukan $n \, $ dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2}{n_1+n_2} \\ 6 & = \frac{n.(5,9)+4.7}{n+4} \\ 6n+24 & = 5,9n + 28 \\ 0,1n & = 4 \\ n & = \frac{4}{0,1} = 40 \end{align}$
Jadi, banyaknya anak sebelum digabung adalah 40 orang. $ \heartsuit $
Nomor 13
Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah $\overline{X}_A \, \, $ dan kelas B adalah $\overline{X}_B $ . Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\overline{X} $ . Jika $\overline{X}_A : \overline{X}_B = 10 : 9 \, \, $ dan $\overline{X} : \overline{X}_B = 85:81 \, \, $ maka perbandingan banyaknya siswa dikelas A dan B adalah ....
$\spadesuit \, $ Mengubah persamaan
$\frac{\overline{x}_A}{\overline{x}_B} = \frac{10}{9} \rightarrow \overline{x}_A = \frac{10}{9}\overline{x}_B $
$\frac{\overline{x}}{\overline{x}_B} = \frac{85}{81} \rightarrow \overline{x} = \frac{85}{81}\overline{x}_B = \overline{x}_{gb} $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A+n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}\overline{x}_B & = \frac{n_A. \frac{10}{9}\overline{x}_B +n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \, \, \, \text{(coret } \, \overline{x}_B ) \\ \frac{85}{81} & = \frac{n_A. \frac{10}{9} +n_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}n_A + \frac{85}{81}n_B & = \frac{10}{9}n_A + n_B \\ \frac{85}{81}n_B - n_B & = \frac{10}{9}n_A - \frac{85}{81}n_A \\ \frac{4}{81}n_B & = \frac{5}{81}n_A \, \, \, \text{(coret 81)} \\ 4n_B & = 5n_A \\ \frac{n_A}{n_B} & = \frac{4}{5} \end{align}$
Jadi, perbandingan siswa kelas A dan Kelas B adalah 4 : 5. $ \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \, \, $ memotong sumbu Y di titik (0, $p$ ), serta memotong sumbu X di titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0). Jika $p, \, q, \, \, $ dan $r \, \, $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka $k = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0, $p$ ) ke fungsi parabola
$y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \rightarrow p=k.0^2-\frac{4}{9}.0+1 \rightarrow p =1 $
$\clubsuit \,$ Parabola memotong titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0) artinya $q\, $ dan $r \, $ adalah akar-akar dari persamaan $ kx^2-\frac{4}{9}x+1 = 0 $
Sehingga : $q.r = \frac{c}{a} \rightarrow q.r = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{q.r} \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan geometri : $p,q,r \, \, $ atau $\, 1, q,r $
Rasio sama : $\frac{q}{1} = \frac{r}{q} \rightarrow r = q^2 \, \, $ ...pers(ii)
Jumlahnya : $1+q+r=13 \rightarrow q+r = 12 \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(iii)
$\begin{align} q+r & = 12 \\ q+q^2 & = 12 \\ q^2+q-12 & = 0 \\ (q-3)(q+4) & = 0 \\ q=3 \rightarrow r & =q^2 = 3^2 = 9 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{3.9} = \frac{1}{27} \\ q=-4 \rightarrow r & =q^2 = (-4)^2 = 16 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{(-4).16} = -\frac{1}{64} \end{align}$
Jadi, nilai $k \, $ yang memenuhi adalah $\frac{1}{27} \, $ atau $ \, -\frac{1}{64}. \heartsuit $
Nomor 15
Garis $g \, $ melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Agar luas $\Delta$AOB minimum, maka panjang ruas garis AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2_2005.png
Persamaan garis AB : $tx+ay=at $
Substitusi titik (4,3) ke persamaan garis, diperoleh:
$tx+ay=at \rightarrow 4t+3a=at \rightarrow at-3a = 4t $
$ a(t-3) = 4t \rightarrow a=\frac{4t}{t-3} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga AOB
$L_\Delta = \frac{1}{2}a.t = \frac{1}{2}\frac{4t}{t-3}.t \rightarrow L_\Delta = 2\frac{t^2}{t-3} $
$L^\prime = 2.\frac{2t(t-3)-t^2}{(t-3)^2} = 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga minimum : $ L^\prime = 0 \, \, $ (turunannya)
$\begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} & = 0 \\ t^2-6t & = 0 \\ t(t-6) & = 0 \\ t = 0 & \vee t=6 \end{align}$
Yang memenuhi $t=6$
Sehinnga : $a=\frac{4t}{t-3} = \frac{4.6}{6-3} = 8 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2a_2005.png
$\spadesuit \, $ Agar luas segitiga minimum, haruslah :
$a = 2\times p \, \, $ dan $ t= 2 \times l $
Sehingga : $a = 2\times 4 = 8 \, \, $ dan $t= 2\times 3 = 6 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika grafik fungsi $y=N\left( 3^{-ax} \right) \, \, $ melalui titik (1, $\frac{1}{27} $ ) dan $(\frac{1}{2}, \, \frac{1}{9} ) $ , maka nilai $a \, $ yang memenuhi adalah ....
$\begin{align} \spadesuit \, \text{Substitusi} \, & \, \text{titik pertama} \\ (1,\frac{1}{27}) \rightarrow y & = N\left( 3^{-ax} \right) \\ \frac{1}{27} & = N\left( 3^{-a.1} \right) \\ \frac{1}{27} & = \frac{N}{3^a} \\ 3^a & = 27 N \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$ $\begin{align} \spadesuit \, \text{Substitusi} \, & \, \text{titik kedua} \\ (\frac{1}{2}, \, \frac{1}{9}) \rightarrow y & = N\left( 3^{-ax} \right) \\ \frac{1}{9} & = N\left( 3^{-a.\frac{1}{2}} \right) \\ \frac{1}{9} & = \frac{N}{3^{\frac{1}{2}a}} \\ 3^{\frac{1}{2}a} & = 9 N \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Bagi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{align} \frac{3^a}{3^{\frac{1}{2}a}} & = \frac{27N}{9N} \\ 3^{\frac{1}{2}a} & = 3^1 \\ \frac{1}{2}a & = 1 \rightarrow a = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Nomor 7
Pada suatu hari Andi, Bayu, dan Jodi panen jeruk. Hasil kebun Jodi 10 kg lebih sedikit dari hasil kebun Andi dan lebih banyak 10 kg dari hasil kebun Bayu. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 195 kg, maka hasil panen Andi adalah ....
$\clubsuit \, $ Jodi 10 kg lebih sedikit dari Andi
$J = A -10 \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Jodi 10 kg lebih banyak dari Bayu
$J = B + 10 \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Jumlah total
$A+B+J = 195 \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ J = B + 10 \rightarrow A-10 = B + 10 \rightarrow B = A - 20 \, \, \, $ ...pers(iv)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) dan pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} A+B+J & = 195 \\ A+(A-20)+(A-10) & = 195 \\ 3A & = 195 + 30 \\ 3A & = 225 \\ A & = 75 \end{align} $
Jadi, hasil panen Andi sebanyak 75. $ \heartsuit$
Nomor 8
Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $U_n = a+(n-1)b $
$U_2=5 \rightarrow a+b = 5 \, \, \, $ ...pers(i)
$\begin{align*} U_4 + U_6 = 28 \rightarrow (a+3b)+(a+5b) & = 28 \\ 2a+8b & = 28 \\ a+4b & = 14 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
diperoleh : $b=3 \, $ dan $ a=2 $
Sehingga :
$U_9 = a+ 8b = 2 + 8. 3 = 2 + 24 = 26 $
Jadi, suku ke-9 adalah 26. $ \heartsuit$
Nomor 9
Juka suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 merupakan suku ke ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$a = 3$
$U_6 = 96 \rightarrow ar^5 = 96 \rightarrow 3.r^5 = 96 \rightarrow r^5 = 32 \rightarrow r =2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan sukunya
$\begin{align*} U_n & = 3072 \\ ar^{n-1} & = 3072 \\ 3. 2^{n-1} & = 3072 \\ 2^{n-1} & = 1024 \\ 2^{n-1} & = 2^{10} \\ n-1 & = 10 \rightarrow n = 11 \end{align*}$
Jadi, 3072 adalah suku ke 11. $ \heartsuit$
Nomor 10
Jika sistem persamaan linear $ \left\{ \begin{array}{c} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{array} \right. \, $
dan $x=\frac{a}{\text{det} \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) } \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan eliminasi
$\begin{array}{c|c|cc} 2x-3y=p & \text{kali 2} & 4x-6y = 2p & \\ 3x+2y=q & \text{kali 3} & 9x+6y = 3q & + \\ \hline & & 13x = 2p+3q & \end{array} $
Sehingga : $\, x = \frac{1}{13}(2p+3q) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$
$\begin{align} x & =\frac{a}{\text{det} \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) } \\ \frac{1}{13}(2p+3q) & =\frac{a}{ 2.2 - (-3).3 } \\ \frac{1}{13}(2p+3q) & =\frac{a}{ 13 } \\ 13.\frac{1}{13}(2p+3q) & =a \\ a & = 2p+3q \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2p+3q . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005


Nomor 1
$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} = .... $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan penyebut
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} . \frac{2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2+3) - 48} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(x^2-9).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2+3-12)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(x^2-9).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2-9)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4} \\ & = \frac{-(2\sqrt{3^2+3}+4\sqrt{3})}{4} \\ & = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -2\sqrt{3}. \heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \, $ Menggunakan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-2x}{2.\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} - \sqrt{x^2+3} = - \sqrt{3^2+3} \\ & = - \sqrt{12} = -2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -2\sqrt{3}. \heartsuit $
Nomor 2
Jumlah dua bilangan $p \, $ dan $q \, $ adalah 6. Nilai minimum dari $p^2+q^2 = ..... $
$p+q = 6 \rightarrow p = 6-q \, \, $
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min : $f^\prime (q) = 0 \, \, $ (turunan = 0)
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (6-q)^2 + q^2 \\ & = 36 -12q + q^2 + q^2 \\ f(q) & = 2q^2 - 12q + 36 \rightarrow f^\prime (q) = 4q -12 \\ f^\prime (q) & = 0 \\ 4q -12 & = 0 \rightarrow q = 3 \\ p & = 6-q \rightarrow p = 6-3 = 3 \end{align}$
Sehingga : $ p^2+q^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $
Jadi, nilai minimum $p^2+q^2 \, $ adalah 18 . $ \heartsuit $
Nomor 3
Garis singgung pada kurva $y=\frac{2x+1}{2-3x} \, \, $ di titik (1, -3) adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align*} y & = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} \\ y & =\frac{2x+1}{2-3x} \\ y^\prime & = \frac{2(2-3x) - (2x+1).(-3)}{(2-3x)^2} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien : $m = f^\prime (1) $
$\begin{align*} m & = f^\prime (1) = \frac{2(2-3.1) - (2.1+1).(-3)}{(2-3.1)^2} \\ & = \frac{-2+9}{1} = 7 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung di (1, -3)
$\begin{align*} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-3) & = 7 (x-1) \\ y-7x+10 & = 0 \end{align*}$
Jadi, PGS nya adalah $ y-7x+10 = 0 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika fungsi $f(x)=\sin ax + \cos bx \, $ memenuhi $f^\prime (0) = b \, \, $ dan $ f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) = -1 \, \, $ , maka $a+b = ....$
$\spadesuit \, $ Turunan fungsinya
$ f(x)=\sin ax + \cos bx \rightarrow f^\prime (x) = a\cos ax - b\sin bx $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $a \, $ dan $b $
$\begin{align} f^\prime (0) & = b \\ a\cos a.0 - b\sin b.0 & = b \\ a-0 & = b \rightarrow a = b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = b \, $ dan gunakan $ f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) = -1 $
$\begin{align} f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) & = -1 \\ a\cos a.\left( \frac{\pi}{2a} \right) - b\sin b.\left( \frac{\pi}{2a} \right) & = -1 \, \, \text{(substitusi } a=b ) \\ b\cos b.\left( \frac{\pi}{2b} \right) - b\sin b.\left( \frac{\pi}{2b} \right) & = -1 \, \, \\ b\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - b\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) & = -1 \, \, \\ b.0 - b. 1 & = -1 \\ -b & = -1 \rightarrow b=1 \end{align}$
Sehingga : $ a = b = 1 $
Jadi, nilai $ a+b = 1+ 1 = 2 . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai $x \, \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) > -1 \, \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat logaritma
$x^2-x > 0 \rightarrow x(x-1) > 0 \rightarrow x=0 \vee x = 1 $
spmb_matdas_1_2005.png
$HP_1 = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan logaritmanya
$\begin{align*} {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > -1 \\ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > {}^{\frac{1}{6}} \log \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} \, \, \text{(coret } \, {}^{\frac{1}{6}} \log ) \\ x^2-x & < 6 \, \, \text{(ketaksamaan dibalik)} \\ x^2-x-6 & < 6 \\ (x+2)(x-3) & < 6 \\ x=-2 & \vee x=3 \end{align*}$
spmb_matdas_1a_2005.png
$HP_2 = \{ -2 < x < 3 \} $
Sehingga : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25